belyuchenko_i_s_smagin_a_v_i_dr_analiz_dannykh_i_matematiche

(14.23)

Таким образом, достаточно простые выражения из матричной модели Лесли для дискретного роста популяций позволяют осуществлять важную задачу экологического нормирования и могут с успехом использоваться при оценках допустимого антропогенного воздействия на популяции биоресурсов с задачей сохранения их репродуктивности, видовой структуры и биоразнообразия.

221

ГЛАВА 15. СИСТЕМНО-ДИНАМИЧЕСКИЕ ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

15.1Сущность системно-динамического имитационного моделирования

Для анализа динамического поведения сложных систем с нелинейными обратными связями был разработан метод системной динамики. Его основателем является профессор Массачусетского технологического института в городе Кембридже Джей Форрестер. За счет использования ЭВМ и алгоритмических имитационных моделей системная динамика позволяет обойти многие трудности математического моделирования, например, проблему размерности.

Применение системно-динамических имитационных моделей особенно привлекательно для описания экологических систем – необычайно сложных образований, включающих множество биологических, геологических, метеорологических и прочих факторов. Особое место в экологическом моделировании занимают балансовые компартментальные модели, когда рассматриваются потоки вещества и энергии между составляющими модель компартментами (системными уровнями), содержание «вещества» в каждом из которых представляет собой отдельную переменную системы. Для этих фазовых переменных пишутся дифференциальные уравнения одного и того же типа, отображающие динамику перемещения вещества и энергии между компартментами.

Системно-динамические модели широко используются для моделирования биогеохимических циклов в экосистемах, продукционных процессов в агроэкосистемах, глобальных процессов в биосфере.

Суть имитационного моделирования заключается в исследовании сложной математической модели с помощью

222

вычислительных экспериментов и обработки результатов этих экспериментов. Благодаря возможности проигрывать различные «сценарии» поведения и управления, имитационная модель может быть успешно использована для выбора оптимальной стратегии эксплуатации природной экосистемы или оптимального способа создания искусственной экосистемы.

Идея системно-динамических моделей основывается на допущении, что в любой момент можно количественно определить состояние системы и что изменение состояния можно описать с помощью математических уравнений. Математическим аппаратом системной динамики являются системы дифференциальных уравнений.

15.2 Основные переменные имитационной модели

В моделях системной динамики различают:

–переменные состояния (уровни, блоки, резервуары);

–переменные скорости (темпы, функции переноса);

–управляющие переменные (вынуждающие функции). Переменные состояния – это те переменные, которые

можно измерить, остановив мгновенье. Например, количество энергии на трофических уровнях продуцентов, консументов, и редуцентов, биомасса, численность популяции, количество химических элементов в почве, растениях или животных.

Переменные скорости – это те переменные, которые описывают потоки веществ или энергии между переменными состояния, например, между растительной биомассой и пасущимися животными.

Их величины определяются переменными состояния и управления в соответствии с правилами, основанными на знании протекающих в системе физических, химических, биологических процессов.

223

Управляющие переменные или вынуждающие функции

характеризуют влияние среды на систему через ее границы и их значение нужно непрерывно контролировать. Примерами таких переменных служат макрометеорологические величины (осадки, ветер, t0, радиация), а также пищевые ресурсы или миграции животных через границы системы.

После расчета значений всех переменных, характеризующих скорости потоков, полученные величины используются для расчета переменных состояния по правилу: переменная состояния в момент (t+∆t) равна переменной состояния в момент t плюс скорость потока в момент t, умноженная на ∆t .

Переменная состояния (t+∆t ) = состояние (t) + скорость∙∆t

Эта процедура, называемая интегрированием, дает новые значения переменных состояния, которые позволяют повторить расчет скоростей потоков.

Интервал времени ∆t выбирается таким образом, чтобы скорость процесса за этот промежуток существенно не изменилась.

Следует помнить, что во избежание неустойчивости временной интервал интегрирования должен быть меньше одной трети временного коэффициента или времени реакции. (Время реакции – это характеристическое время системы, равное обратной величине самой быстрой относительной скорости изменения одной из ее переменных состояния). Чем меньше временной коэффициент, тем меньше временной интервал интегрирования.

15.3Язык потоковых диаграмм, правила построения диаграммы связей

При построении имитационных моделей процессов круговорота веществ и потока энергии в экосистемах широко

224

применяется язык потоковых диаграмм. Потоковая диаграмма представляет собой схему, на основании которой строятся дифференциальные уравнения имитационной модели. Он был разработан Дж. Форрестером (1961 г.) для изображения процесса переноса материалов, энергии, капитала, людских ресурсов и предназначался для построения глобальных моделей, прогнозирующих экологоэкономическую ситуацию в мире. Графический язык, отображающий специфику моделирования потоков веществ и энергии в экосистемах был предложен российскими математиками А.А. Ляпуновым и А.А. Титляковой. (1971).

Перечислим важнейшие элементы и операции языка потоковых диаграмм, которые необходимы при моделировании процессов переноса в экосистемах.

f1(t)

Каждому уровню сопоставляется одна переменная состояния, и символ этой переменной записывается в центре прямоугольника. В левом верхнем углу – порядковый номер уровня, в правом нижнем – номер уравнения, описывающего динамику соответствующей переменной.

поток и направление действия, в результате которого изменяется

величина и переменная состояния

направление движения информации

225

внешние по отношению к системе источники и стоки

вспомогательная или промежуточная переменная для потоков веществ или информации

константа или параметр

Процедуру построения потоковых диаграмм рассмотрим на примере моделей экспоненциального и логистического роста.

При экспоненциальном росте количество (К) регулируется темпом роста (ТР), который в свою очередь зависит от относительного темпа роста (ОТР) и текущего значения количества (К).

При логистическом росте (К) регулируется темпом роста, который зависит от текущего значения К и двух констант ОТР и емкости среды ЕС.

Количество

(К)

Рисунок 15.1 – Диаграмма для представления экспоненциального роста

226

Рисунок 15.2 – Диаграмма логистического роста

15.4 Процедура построения имитационной модели

Построения имитационной модели состоит из следующих этапов.

В соответствии с задачами моделирования задается вектор состояния системы и вводится системное время, моделирующее ход времени в реальной системе.

Производится декомпозиция системы на отдельные блоки, связанные друг с другом, но обладающие относительной независимостью. Для каждого блока определяют, какие компоненты вектора состояния должны преобразовываться в процессе его функционирования.

Формулируют законы и гипотезы, определяющие поведение отдельных блоков и связь этих блоков друг с другом. Для каждого блока множество законов функционирования дополняется множеством логических операторов, формализующих опыт наблюдения за динамикой процессов в системе. При необходимости вводится «внутреннее системное время» данного блока модели, позволяющее моделировать более быстрые или более медленные процессы. Если в блоке используются случайные параметры, задаются правила отыскания на каждом шаге некоторых их реализаций. Разрабатываются программы, соответствующие отдельным блокам.

227

Каждый блок верифицируется по фактическим данным, и при этом его информационные связи с другими блоками «замораживаются». Обычно последовательность действий при верификации блоков такова: часть имеющейся информации используется для оценки параметров модели, а затем по оставшейся части информации сравнением расчетных данных с фактическими проверяется адекватность модели.

Производится объединение разработанных блоков имитационной модели на базе стандартного или специально созданного математического обеспечения. Апробируются и отрабатываются различные схемы взаимодействия блоков. На этом этапе всю «большую модель» удобно рассматривать как комплекс автоматов с памятью или без нее, детерминированных или стохастических. Работа с моделью тогда представляет собой изучение коллективного поведения автоматов в случайной или детерминированной среде.

Производятся верификация имитационной модели в целом и проверка ее адекватности. Здесь решающими оказываются знания экспертов – специалистов, хорошо знающих реальную систему.

Планируются эксперименты с моделью. При анализе их результатов используются статистическая обработка информации, графические формы выдачи данных и пр. Результаты экспериментов пополняют информационный фонд (банк данных) и используются при дальнейшей работе с моделью.

На каждом из этапов модель может перестраиваться: расширяется список фазовых переменных, уточняется вид их взаимодействий, проверяются гипотезы о механизмах тех или иных процессов в рамках общей имитационной системы.

Ясно, что разработка имитационной модели сложной системы и работа с этой моделью требуют усилий целого

228

коллектива специалистов, как в области компьютерной математики, так и в предметной области.

15.5Основные этапы построения имитационной модели цикла азота в агроэкосистеме

Пройдем все этапы построения имитационной модели на примере, предложенном Т.Г. Гильмановым [1978].

1.Формулировка цели моделирования. Пусть цель моде-

лирования – разработка модели потока азота в агроэкосистеме для понимания этого процесса и управления им.

2.Общая характеристика системы-оригинала и спецификация внешних и внутренних переменных модели. Счита-

ем, что пастбище расположено на водоразделе, поэтому не испытывает биогеохимического влияния других систем.

Определим внешние системы, воздействующие на агроэкосистему:

Атмосфера А0.

Антропогенная система с/х производства М0.

Тогда множество элементов окружающей среды есть:

{A0, М0},

Определим внутренние элементы системы:

Локальная атмосфера А. Почва S. Растительность G. Животные АС.

Подстилающая порода РR. Грунтовые воды GW,

Тогда множество внутренних элементов системы:

{А,S,G,AC,PR,GW}.

Применяя сокращенную форму обозначения систем, запишем

E0 = E0(V0,X0) = E0 ({A0, М0},{А,S,G,AC,PR,GW})

Визуально агроэкосистему можно представить в виде блок-схемы:

229