belyuchenko_i_s_smagin_a_v_i_dr_analiz_dannykh_i_matematiche

В настоящее время активно разрабатываются глобальные климатические, геоэкологические модели, позволяющие рассчитать динамику климата, локальных метеоусловий, фотосинтез, «парниковый эффект» и другие жизненноважные процессы, протекающие в масштабе планеты.

Смысл таких глобальных моделей заключается в том, что они позволяют оценить вклад отдельных процессов и регионов в общий баланс вещества и энергии на Земле, и решать обратную задачу о влиянии на локальные процессы этих глобальных показателей. Такой всесторонний учет множества факторов и связей возможет только с использованием современной вычислительной техники и геоинформационных технологий.

244

ГЛАВА 16. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

ВОБЛАСТИ ЭКОЛОГИИ

16.1Основные цели и задачи исследования операций

Научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными системами – называется исследование операций.

Цель исследования операций – количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

Применение методов исследования операций предполага-

ет:

–построение математических моделей для задач принятия решений в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

–изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений;

–установление критериев эффективности, позволяющих оценить преимущество того или иного варианта действия.

Определим некоторые понятия теории исследования операций.

Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа ее проведения, организации, иначе – от выбора некоторых параметров.

Решение – определенный выбор параметров. Оптимальными считают те решения, которые по тем или

иным соображениям предпочтительнее других. Поэтому основной задачей исследования операций является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Различают модели сетевого планирования и управления, теорией игр и оптимизационные модели.

245

Задачи сетевого планирования и управления рассматрива-

ют соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения (часто применяется при планировании природоохранных мероприятий).

Задачи теорией игр. Большинство хозяйственных операций можно рассматривать как действия, совершаемые в условиях противодействия. К противодействиям относятся такие факторы, как конкуренция, дефицит ресурсов, аварии, стихийные бедствия. В задачах теории игр необходимо выработать рекомендации по разумному поведению участников конфликта, определить их оптимальные стратегии, или уменьшить степень противодействия.

Оптимизационные модели применяют для нахождения оптимальных вариантов решения в ситуациях дефицита ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Многие из оптимизационных задач решаются методом линейного программирования или сводятся к ним.

16.2Примеры применения оптимизационных моделей в экологии

В практической работе по охране и рациональному использованию природных экосистем человек может задавать и регулировать те или иные воздействия с целью оптимизации их состояния. Например, при управлении заповедником стремятся к сохранению редких видов организмов, в агроэкосистемах – к получению высокого урожая. При управлении водоемом можно использовать принудительную аэрацию для оптимизации его экологического состояния. Оптимизационные задачи часто применяются в исследованиях по управле-

246

нию и планированию лесных запасов, при экономическом анализе мероприятий по улучшению качества древесных лесных пород, при анализе развития сельскохозяйственных мероприятий. К такому типу задач относятся и задачи рационального размещения источников загрязнения при ограничениях на уровень загрязнения окружающей среды.

Можно привести множество примеров оптимизационных задач и из области теоретической экологии. Какова максимальная скорость, с которой ткани животного могут обеспечиваться кислородом? Какова минимальная скорость размножения, необходимая для выживания данного вида? Какова максимальная биомасса, которую может поддерживать данная экосистема? Как можно удовлетворить пищевые потребности хищника при минимальных затратах энергии?

Задача максимизации и минимизации в биологии обычно сопровождается ограничениями или пределами на биологические переменные. Эти ограничения могут быть следствием физиологических пределов или пределов доступности жизненных ресурсов. Например, скорость размножения данного вида может быть ограничена длительным периодом беременности либо доступным пространством или пищей.

В рамках нашего курса будем рассматривать оптимизационные модели, решаемые методом линейного программирования.

16.3 Основы теории линейного программирования

Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называется системой ограничений.

247

Первые постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским математиком Л. В. Канторовичем, которому за эти пионерские работы была присуждена Нобелевская премия. Значительное развитие теория и алгоритмический аппарат линейного программирования получили с изобретением и распространением ЭВМ и формулировкой американским математиком Дж. Данцингом симплекс-метода.

Линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решений, в том числе и при решении экологических проблем [Гурман, 81].

Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, позволяющее эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов, и снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов.

16.4Примеры классических задач линейного программирования

Постановка практической задачи ЛП включает следующие основные этапы: определение показателя эффективности, переменных задачи, задание линейной целевой функции F, подлежащей минимизации или максимизации, функциональных и областных ограничений.

Чтобы понять, откуда берутся задачи линейного программирования, рассмотрим некоторые, уже ставшие классическими, примеры подобных задач. В некоторых из них сформулируем математическую постановку задачи.

Задача о диете. Задача о диете возникает при составлении наиболее экономного (т. е. наиболее дешевого) рациона

248

питания животных, удовлетворяющего определенным требованиям.

Предположим, что в нашем распоряжении имеется 3 продукта питания (сено, зерно, комбикорм). Обозначим эти продукты через I, II, III.

Стоимость 1 кг корма соответственно равны 4, 5, 6 денежным единицам. Рациональная диета должна доставлять животному определенные компоненты (белки, жиры, углеводы, витамины, микроэлементы и т. д.). Обозначим эти компоненты через S1, S2, S3, S4, S5. Тогда можно составить таблицу-справочник, указывающую, какое количество каждого компонента имеется в единице веса каждого продукта. Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

Таблица 16.1 – Задача составления рациона

Составим математическую модель задачи.

Обозначим x1, x2, x3 – количество кормов I, II, III, входящих в дневной рацион. Тогда этот рацион (см. таблица 16.1.) будет включать:

(3x1+1x2+2x3) единиц питательного вещества S1, (1x1+2x2+5x3) единиц питательного вещества S2, (2x1+1x2+1x3) единиц питательного вещества S3,

249

(3x1+4x2+5x3) единиц питательного вещества S4, (1x1+2x2+2x3) единиц питательного вещества S5.

Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4, S5 в рационе должно быть не менее соответственно 9, 8, 12, 10, 5, единиц, то получим систему неравенств:

Итак, математическая модель задачи: составить рацион X = (x1, x2, x3), удовлетворяющий системе (16.1) и условию (16.2), при котором функция (16.3) принимает минимальное значение.

Обратите внимание на полученный результат. Во-первых, достаточно реальная задача приобрела строгую математическую форму. Во-вторых, целевая функция (стоимость рациона) является линейной функцией переменных. В третьих, сами ограничения на значения переменных имеют вид линейных неравенств. Все это и определило название этого класса задач – задачи линейного программирования.

Задача об использовании ресурсов. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3, S4. Запасы ресурсов и число единиц ресур-

250