belyuchenko_i_s_smagin_a_v_i_dr_analiz_dannykh_i_matematiche

Эта модель является гомоморфным отображением системы Е0 на систему E h: Е0→Е, при котором на переменную v отображаются те свойства атмосферной и агрономической внешних систем А0,М0, которые регулируют скорость подачи удобрений. Аналогично на переменные х1(t), х2(t), х3(t) отображаются величины запасов азота в почве, растениях, животных, а вспомогательным переменным fIj сопоставляются скорости поступления, перераспределения и выноса азота.

Остальные внутренние свойства системы оригинала Е0 в модели не рассматриваются.

15.6Потоковая диаграмма движения азота в экосистеме, идентификация модели

Потоковая диаграмма изображает структуру модели и служит основой для построения системы разностных уравнений для реализации модели на компьютере в MS EXCEL.

Система Е будет моделью системы-оригинала Е0, если математические отношения между переменными модели Е будут воспроизводить отношения между свойствами ориги-

нала Е0.

Установление таких математических отношений в виде дифференциальных уравнений и алгебраических уравнений проводится на этапе идентификации структуры модели. Задача идентификации модели состоит в установлении конкретного вида функций fIj и выводе уравнений, описывающих динамику переменных состояния х1(t), х2(t), х3(t) в течение рассматриваемого промежутка времени.

231

Рисунок 15.4 – Потоковая диаграмма цикла азота в агроэкосистеме культурного пастбища [Гильманов, 78]

Предположим, что в результате наблюдений установлено, что вспомогательные переменные представлены следующими зависимостями:

fR11(t) = v(t) = const;

f1R2(х1(t)) = а1x1(t); f3R3(х3(t)) = а2(x3(t))2;

f12 (х1(t), х2(t)) = а3x1(t)· x2(t); f21(х2(t)) = а4x2(t);

f23 ((х2(t), х3(t)) = а5x2(t)· x3(t);

f31(х3(t)) = а6x3(t), где а1, а2, а3, а4, а5, а6 – числовые параметры.

Пусть в результате специальных исследований получены следующие значения параметров:

а1 = 2; а2 = 1; а3 = 10; а4 = 5; а5 = 10; а6 = 5; а1 = 2; v =

25

232

Синтез модели. В соответствие со структурой модели составим систему разностных уравнений на основе закона сохранения массы азота. Изменение количества азота в почве за промежуток времени от t до t + ∆t равно произведению алгебраической суммы скоростей поступления и оттока азота из почвы на длину рассматриваемого промежутка времени ∆t:

x1(t+∆t) – x1(t) = (v + f21+ f31 – f12 – f1R2)· ∆t

Аналогично для запасов азота в растениях и живот-

ных:

x2(t+∆t) – x2(t) = ( f12 – f21 – f23)·∆t x3(t+∆t) – x3(t) = (f23 – f31 – f3R3)·∆t

Подставим вместо функций fij их оценки, полученные на этапе идентификации. Получим систему разностных уравнений:

x1(t+∆t) – x1(t) = (25 +5х2(t) + 5x3(t) – 10x1(t)·x2(t) – 2x1(t))·∆t

x2(t+∆t) – x2(t) = (10x1(t)·x2(t) – 5x2(t) – 10x2(t)·x3(t))·∆t x3(t+∆t) – x3(t) = (10x2(t)·x3(t) – 5х3(t) – x3 2(t)) ∆t

t, год

0

Рисунок 15.5 – Динамика азота на трех уровнях экосистемы культурного пастбища.

233

Для каждой тройки начальных условий по этим уравнениям могут быть вычислены значения переменных х1(t), х2(t), х3(t) для всех последующих моментов времени ∆t, 2∆t,

3∆t.

Такие вычисления могут проведены для любых параметров {ai} и v. Для v = 25 динамика переменных состояния изображена на рисунке 15.5.

15.7 Проверка, исследование и оптимизация модели

При наличии экспериментальных данных о поведении азота в реальной системе и располагая машинной реализацией модели Е, можно сравнить фактические и расчетные данные и вынести заключение о степени адекватности модели.

Вычисления, выполненные для разных начальных условий, позволяют сделать вывод о том, что под постоянным внешним воздействием v = 25 с течение времени наша экосистема приходит к одному и тому же стационарному состоянию не зависимо от ее начального состояния. Стационарным зна-

Располагая машинной реализацией модели E, можно рассматривать вопрос о том, насколько чувствительна модель к изменению значений параметров а1, а2, а3, а4, а5, а6. Например, насколько точно может быть предсказана величина потока азота из почвы во внешнюю среду f 1R2st, если ошибка в определении параметров равна 1 %.

Можно также узнать, что произойдет, если будет увеличен отток азота из экосистемы с биомассой животных в результате более интенсивного вывода скота из экосистемы.

Можно ответить на вопрос, способствует ли увеличению вторичной продуктивности экосистемы введение в экосистему животных с большей интенсивностью потребления раститель-

234

ной массы. Для ответа на этот вопрос надо проследить, к чему приведет увеличение параметра а5.

Пусть задача управления нашей экосистемой состоит в получении максимального дохода от ее эксплуатации с применением удобрений. Введем целевую функцию.

Ф(v) = с2 f3R3 – с1v – c3(f1R2)4, которая показывает баланс доходов и затрат.

Здесь f3R3 – доходы от реализации одной ед. азота в биомассе животных;

с1v – затраты на внесение ед. азота с азотными удобрения-

ми;

c3(f1R2)4 – убытки, причиняемые в результате загрязнения водоема от эвтрификации, снижения питьевых качеств, гибели рыбы.

Используя машинную реализацию модели, можно установить, что величина f3R3 пропорциональна v. С увеличением v в 4 раза величина f3R3 увеличивается в 4 раза. Величина f1R2 пропорциональна корню квадратному из v, т. е.

f1R2 = k2 v ; f3R3 = k1v.

Тогда можно записать:

Ф(v) = с2k1v – с1v – c3k24v2

Найдем максимум этой функции.

Ф'(v) = с2k1 – с1 – 2c3k24v; Ф'(v) = 0;

vмах с1 с2 k1 .

2c3k24

Для получения максимального дохода от агроэкосистемы Е0 следует вносить удобрения с интенсивностью vmax.

Вместе с тем в отличие от непрерывных моделей, дискретные, подобно рассматриваемой выше модели цикла азота

235

могут быть весьма чувствительны ко временному шагу ( t), иногда даже сильнее, чем к варьированию параметров. Например, при вычислениях для рисунка 15.5 мы использовали шаг 0,001 года. Увеличим его до 0,01 года. Результаты (рисунок 15.6) весьма сильно отличаются от первоначальных (рисунок 15.5). Об этих недостатках моделей такого рода следует знать и помнить при организации соответствующих исследований, равно как и при прогнозах на их основе.

Рисунок 15.6 – Динамика азота на трех уровнях экосистемы культурного пастбища – расчет при более крупном шаге по времени

15.8 Модели агробиоценоза

Имитационные модели продукционного процесса растений (агробиоценозов) для разных культур являются одними из первых имитационных моделей. Агробиоценоз включает совокупность взаимовлияющих процессов биотического и абиотического характера. Для сельскохозяйственной науки наиболее важная часть агробиоценоза – это посев сельскохозяйственной культуры. Существует большое число моделей разных культур, как упрощенных, предназначенных для решения кон-

236

кретных вопросов управления, так и очень подробных, используемых в основном для исследовательских целей. При выборе методов моделирования агробиоценоза и степени сложности модели определяющая роль должна отводиться цели моделирования. Такой целью может быть выбор оптимальной стратегии проведения сельскохозяйственных мероприятий: орошения, полива, внесения удобрений; выбор наилучших сроков посева или посадки растений с целью получения максимальных урожаев.

Ввиду сложности агробиоценоза целесообразно представлять всю систему происходящих в нем процессов в виде блочной иерархической структуры. Обычно проводится деление модели на биотический и абиотический блоки. Блочная структура моделей дает большие преимущества для моделирования, позволяя изучать, изменять и детализировать одни блоки, не меняя других. Как правило, число параметров, которые входят внутрь блоков, существенно больше числа параметров, которыми блоки соединяются друг с другом. Это один из принципов построения имитационной модели.

Среди биотических процессов выделяют блок роста и развития посева сельскохозяйственной культуры, блок функционирования почвенной микрофлоры, блок функционирования почвенной фауны, блок развития энтомофауны, блок развития болезней сельскохозяйственных культур, блок взаимодействия сельскохозяйственной культуры с сорняками и др.

Абиотические блоки включают в себя модели, описывающие ряд геофизических процессов, характеристики которых важны для функционирования биотических процессов: формирование теплового, водного режимов почвы и приземных слоев воздуха, концентрации и передвижения биогенных и токсических солей, различных остатков распада пестицидов, ростовых веществ и метаболитов в почве, концентрация СО2 в посеве.

237

Модели продукционного процесса сельскохозяйственных растений обычно имеют балансовый характер, то есть для каждого вещества производится расчет всех «притоков» и «оттоков». Например, при расчете водного режима (водный блок) учитываются выпадение осадков (или дождевание), перехват этих осадков надземными органами растений, возможное образование слоя влаги на поверхности почвы, перемещение влаги в почве из одного слоя в другой, обмен с грунтовыми водами, поглощение воды корнями и пр. Таким же образом в модели замыкаются циклы круговорота по углероду, азоту и другим элементам.

На рисунке 15.7 изображена блок-схема модели продуктивности агроэкосистемы, взятая из монографии Н.Ф. Бондаренко и др. «Модели продуктивности экосистем» (1982).

Из блоков, изображенных на рисунке 15.7, наиболее разработаны в настоящее время блоки, описывающие не собственно биологические, а скорее геофизические процессы: формирование теплового и водного режима, концентрации и передвижения биогенных и токсических солей, концентрации СО2 в посеве, влаго- и теплообмен в почве, влаго- и теплоперенос в системе почва – растение – приземный воздух.

Это связано в первую очередь с большей изученностью этих процессов и возможностью их описывать при помощи аппарата дифференциальных уравнений, разработанного для подобных задач в гидро- и аэродинамике. При этом посев формально рассматривается как неоднородная по вертикали пленка, покрывающая поверхность поля.

238

15.9 Глобальные модели

Модели глобальной динамики сыграли особую роль в становлении имитационного моделирования. Именно для этих моделей был разработан формализм представления системы в виде узлов и потоков между ними, который затем в разных видах использовался практически во всех моделях сложных систем. Первые глобальные модели были созданы Джеем. Форрестером и его учениками-коллегами – Денисом и Данеллой Медоузами с соавторами по заказу Римского клуба в 60–80 годы 20 века. Полученные с их помощью результаты были опубликованы в знаменитой переведенной на 35 языков книге «Пределы роста» и впервые послужили предостережением человечеству в том, что Земля – ограниченная система, безудержный прогресс ведет к истощению ее ресурсов, и человечество ждет глобальный экологический кризис.

По результатам моделирования авторы сделали следующие выводы. Экспоненциальный рост численности населения, капитала, потребления ресурсов и загрязнения ОС продолжается. Существует точка зрения, что стабилизация численности населения произойдет в силу системного развития человечества в процессе так называемого демографического перехода. Критическая дата падения (стабилизации) численности человечества около 2030 г. Возможно, численность будет еще продолжать расти примерно до конца следующего века и остановится на цифре 12–14 млрд. Возможные пути достижения предельно допустимого уровня численности человечества схематически приведена на рисунке

15.8.

240