Питання для самоперевірки

1. Яким чином можна перейти від опису системи у формі "вхід-вихід" до опису системи у формі перемінних стану та назад?

2. Сформулюйте основні правила перетворення структурних схем і графів систем управління.

3. Назвіть способи визначення матричної експоненти.

4. Що називається стійкістю САУ?

5. Перелічіть основні характеристики випадкових процесів.

6. Які способи визначення на ЕОМ кореляційних функцій і спектральних щільностей перемінних стану?

2.4. Критерії і області стійкості звичайних безупинних стаціонарних систем

Алгебраїчні критерії стійкості Раусса і Гурвица. Принцип аргументу і частотні критерії стійкості. Критерії Михайлова і Найквиста. Запаси стійкості. Критичний коефіцієнт підсилення. Метод логарифмічних амплітудно-фазових частотних характеристик. Особливості аналізу стійкості багатоконтурних та багатомірних систем.

Області стійкості в просторі параметрів. D - розбивка по одному і двом параметрам. Основна крива й особливі прямі. Правило штрихування. Виділення області стійкості. Структурна нестійкість.

Методичні вказівки.

Спочатку варто засвоїти фізичну сутність стійкості і математичної умови необхідності і достатності стійкості лінеаризованої САУ.

Для цього доцільно досліджувати поводження лінійної САУ другого порядку, виведеної зі стану рівноваги і наданої самій собі. Потрібно чітко усвідомити зв'язок окремих показників перехідного процесу такої системи з величинами і знаками речовинної і мнимої частин коренів характеристичного рівняння.

Тільки після ретельного розбору зазначеного приклада можна перейти до вивчення теорем Ляпунова, що дозволяють поширювати висновки, отримані при аналізі роботи лінеаризованих систем, на реальні системи автоматичного регулювання. У цьому полягає їхня особлива роль у САУ, де дослідження лінійних моделей займає найважливіше місце.

Математична умова стійкості лінеаризованої системи полягає в тому, що всі корені характеристичного рівняння замкнутої системи повинні мати негативну речовинну частину. Отже, судження про стійкість лінеаризованої системи можна звести до визначення коренів її характеристичного рівняння.

Однак без застосування обчислювальної техніки рішення алгебраїчних рівнянь вище четвертого ступеня зв'язано з дуже трудомісткими розрахунками. Тому в теорії автоматичного управління використовуються методи, що дозволяють установити, не прибігаючи до рішення рівняння, залежність між коефіцієнтами рівняння і знаком речовинної частини його коренів. Такі методи одержали назву критеріїв стійкості. Необхідно знати всі критерії стійкості, перераховані в програмі курсу, уміти вибирати в кожнім конкретному випадку критерій, найбільш придатний для розглянутого випадку. Варто пам'ятати, що алгебраїчний критерій Раусса - Гурвица доцільно застосовувати до систем, що описуються диференціальними рівняннями не вище п'ятого порядку, а критерій стійкості Михайлова - при дослідженні складних багатоканальних систем. Особливість критерію стійкості Найквиста полягає в тому, що він дозволяє вирішити питання про стійкість системи по її амплітудно-фазовій характеристиці в розімкнутому стані і по логарифмічних амплітудних характеристиках. При цьому амплітудно-частотна характеристика може бути отримана експериментально. Треба знати, що передатна функція розімкнутої системи, використовувана для побудови амплітудно-фазової характеристики, повинна містити в собі передатні функції всіх ланок системи. У неї також повинна входити ланка головного зворотного зв'язку.

Студент повинний навчитися судити по логарифмічним частотним характеристиках про стійкість системи, а також уміти визначати запас стійкості по амплітуді та фазі. Крім цього, необхідно усвідомити вплив запізнювання в системі на вид частотних характеристик та стійкість системи. Варто вивчити вплив зміни загального коефіцієнта підсилення системи на її стійкість, що найкраще ілюструється зсувом годографа Михайлова при зміні загального коефіцієнта підсилення.

Для з'ясування понять простору параметрів і області стійкості в цьому просторі варто пам'ятати, що стійкість системи регулювання залежить від стану коефіцієнтів диференціального і, відповідно, характеристичного рівняння, при зміні тих чи інших параметрів системи змінюється і її стійкість; підбором цих змін можна перетворити систему зі стійкої в коливну і навпаки.

Варто врахувати, що ряд параметрів системи можуть бути задані і визначатися вимогами технологічного процесу і конструктивними особливостями об'єкта регулювання. Є також параметри, які можна змінювати у визначених межах з метою регулювання. Це позначається на розташуванні коренів на комплексній площині. Таким чином, якщо в характеристичному рівнянні здійснити заміну на , то можна одержати рівняння геометричного місця точок, що розмежовує області з різним числом коренів у лівій напівплощині. Сукупність отриманих граничних геометричних елементів поділяє -мірний простір перемінних параметрів на області. З них тільки та область у просторі перемінних параметрів, у якій усі корені характеристичного рівняння розташовані ліворуч від мнимої осі комплексної площини, є областю стійкості.

Області з однаковим числом коренів у лівій напівплощині - це області D, а сама розбивка простору перемінних параметрів системи на ці області – D - розбивка.

Практично області стійкості досліджуються тільки при числі перемінних параметрів не більш двох.

Одним з основних достоїнств D - розбивки є можливість судження про стійкість системи при зміні її перемінних параметрів без повторних перевірок умов стійкості.