2.8 Звичайні нелінійні сау

Опис нелінійної системи. Моделі в нормальній формі Коші. Адитивні нелінійні ланки. Типові нелінійні характеристики. Сталі режими в нелінійних системах. Статика нелінійних систем. Заданий і збурений рух. Рівняння у варіаціях, лінійні наближення. Загальна характеристика задачі дослідження нелінійних систем. Застосування чисельних методів.

Стійкість нелінійних систем. Прямий метод Ляпунова. Функції Ляпунова. Критерії знаковизначеності та знакопостійності. Теорема Ляпунова про стійкість і нестійкість, теорема про стійкість по першому наближенню. Приклади дослідження стійкості.

Абсолютна стійкість нелінійних систем. Критерій В.М.Попова. Інші критерії абсолютної стійкості.

Методи дослідження систем з кусочно - лінійними характеристиками. Метод фазової площини. Аналіз релейної слідкуючої системи. Вплив коригувальних зв'язків. Граничні цикли. Ковзні режими. Аналіз періодичних режимів методом точкових перетворень. Дослідження релейних систем методом припасовування. Рівняння релейних систем у кінцевих різницях. Періодичні режими релейної системи. Системи з перемінною структурою.

Наближені методи дослідження нелінійних систем. Гармонійна лінеаризація. Коефіцієнти гармонійної лінеаризації нелінійних ланок. Метод гармонійного балансу. Визначення параметрів автоколивань. Повільно мінливі процеси в автоколивальних системах. Змушені коливання нелінійних систем.

Нелінійні системи при випадкових збурюваннях. Стохастичні рівняння нелінійних систем. Застосування методу статичних випробувань і інтерполяційно-квадратурних методів для аналізу стохастичних нелінійних систем. Метод статистичної лінеаризації.

Методичні вказівки

При вивченні даної теми повинне бути отримане ясне представлення про те, що реально САУ є нелінійними системами. Розглянуті в попередніх темах методи дослідження справедливі для лінеаризації рівнянь динаміки. Це випливає з основної особливості нелінійних систем: до них не можна застосувати принцип суперпозиції. У зв'язку з цим не можна застосовувати безпосередньо до нелінійних систем усі ті методи дослідження САУ, що ґрунтуються на перетвореннях Лапласа і Фур'є.

Процеси в нелінійних системах, їхні власні рухи набагато різноманітніші і складніші, ніж у лінійних. Особливу увагу варто звернути на те, що в замкнутих нелінійних системах можуть виникнути стійкі коливання визначеної амплітуди і частоти – автоколивання.

Можливість існування незатухаючих коливань у нелінійних системах є їхньою принциповою відмінністю від лінійних систем, причому в ряді нелінійних систем наявність незатухаючих коливань – необхідна умова нормальної роботи нелінійної системи, що дозволяє істотно поліпшити показники її якості; це має місце, наприклад при вібраційній лінеаризації нелінійної системи.

Необхідно засвоїти основні методи аналізу нелінійних систем – метод фазової площини і метод гармонійного балансу.

Варто мати на увазі, що метод фазової площини фактично є методом простору стану для двох перемінних.

При дослідження нелінійних систем шляхом лінеаризації нелінійностей, наприклад при гармонійній лінеаризації, необхідно пам'ятати, що коефіцієнти лінеаризації залежать від амплітуди і частоти коливань системи і, виходить, при зміні вхідних сигналів ці коефіцієнти також змінюються. Крім того, усі методи лінеаризації – наближені методи, і правомірність їхнього застосування в кожному окремому випадку необхідно розглядати особливо.

Необхідно насамперед звернути увагу на типи нелінійностей у САУ і їхні характеристики. Потрібно ознайомитися з методами зображення нелінійних елементів на структурних схемах і способом перетворення структурних схем до виду, зручного для дослідження. Потім рекомендується познайомитися з фазовим представленням перехідного процесу. Важливо усвідомити, що положення точки, що зображує стан системи у фазовому просторі, визначається координатами, що відповідають початковим умовам руху системи. Тому як координати фазового простору вибираються величини, що відповідають необхідним для рішення диференціального рівняння САУ початковим умовам. Далі з рівнянь виключається час і знаходяться зв'язки тільки між фазовими координатами.

Траєкторія руху точки у фазовому просторі (фазові траєкторії) відбиває зміни в стані системи протягом перехідного процесу і дає якісне представлення про характер її руху. Однак вони нічого не говорять про час перехідного процесу чи про швидкість зміни параметрів системи. Для систем до другого порядку включно по виду фазових траєкторій можна зробити ряд висновків, що представляють практичну цінність. Так, по фазовим траєкторіям можна судити про поводження системи при великих і малих відхиленнях, тобто вирішити питання про стійкість САУ в "малому" та в "великому", з'ясувати можливість виникнення автоколивань, визначити їхню амплітуду і т.д.

Метод фазових траєкторій утрачає наочність для систем четвертого порядку і вище.

Особливим для САУ є режим автоколивань, тому варто усвідомити його особливості, вивчити один з наближених методів визначення амплітуд і частот автоколивань, запропонований Гольдфабором – графоаналітичний. Даний метод заснований на можливості представлення характеристики нелінійної частини системи при гармонійному впливі на її вхід у виді комплексного коефіцієнта підсилення, що залежить не від частоти, а від амплітуди вхідного сигналу. По взаємному розташуванню зазначених характеристик можна судити про стійкість САУ, про автоколивання, визначити частоту автоколивань та їхню амплітуду.

Подібного роду задачі можуть бути порівняно просто вирішені за допомогою ЕОМ. Необхідно звернути увагу на клас нелінійних систем з так називаною перемінною структурою. Ці системи останнім часом одержали широке поширення в промислових системах управління. Причому для цих систем також характерний режим, за допомогою якого вдається одержати винятково високі показники якості системи управління з перемінною структурою. Наявність ковзного режиму – принципово необхідна умова руху системи по різноманіттю.