1.4 Некоторые свойства позиционных однородных систем с естественным множеством цифр

Для чисел, представимых в виде полиномов (1.1), (1.2) характерны несколько основополагающих и существенных для практики свойств, которые рассматриваются ниже.

Свойство 1. Значение цифры разряда для целой части числа в раз больше значения такой же цифры в ( разряде Например, цифра 9 во втором разряде целого десятичного числа 99 в десять раз больше (с учетом веса) цифры 9 в первом разряде.

Свойство 2. Значение цифры разряда для дробной части числа в раз меньше значения такой же цифры в (( разряде . Например, цифра 1 во втором разряде десятичной дроби 0,11 в десять раз меньше (c учетом веса) цифры 1 в первом разряде.

Систему счисления порождающую числа со Свойствами 1,2 называют системой с естественным порядком весов. Существуют также системы с искусственным порядком весов (например, Айкена—Эмери), для которых указанное соотношение весов одинаковых цифр в соседних разрядах не является обязательным.

Свойство 3. Минимальный модуль смешанного числа отличающегося от нуля, а также дробного числа представимого согласно (1.2), равен

.

Свойство 4. Максимальное количество чисел одного диапазона, которые можно предста­вить на разрядах, определяется как

.

Свойство 5. Для представления N различных чисел в системе с основанием необходимо не менее

разрядов. Здесь запись означает, что если число в скобках – дробное, то оно округляется в сторону ближайшего большего целого.

Следующее свойство имеет важное практическое значение.

Пусть смешанное –ичное число содержит непрерывную последовательность максимальных в этой системе счисления цифр. Пусть при этом, последовательность условно начинается со стороны младших разрядов числа с позиции b (begin), а заканчивается на позиции с номером e (end) (Рисунок 2).

Свойство 6. Количественный эквивалент непрерывной последовательности максимальных цифр, начинающейся с позиции b и заканчивающейся на позиции e, определяется как

При этом, и Очевидно, что числовой эквивалент последовательности с указанными свойствами может быть определен также как сумма вида

Свойство может быть доказано следующим образом. Уменьшаемое и вычитаемое разности (1.5) в кодовом виде – это числа вида 0…100…0 и 0...,0010… ,т.е. числа, содержащие единицу в единственном разряде с позицией определяемой весами Единица вычитаемого формирует заем из единицы уменьшаемого, который распределяется в виде максимальных цифр по всем промежуточным позициям разности. Такое правило вычитания справедливо для всех систем рассматриваемого типа, что является доказательством Свойства 6.

Доказательство иллюстрируется рисунком 3. Рисунок 3а показывает, что результат вычитания равен количественному эквиваленту десятичного числа , которое представляет собой непрерывную последовательность из пяти максимальных десятичных цифр с началом в позиции и окончанием в позиции

Рисунок 3б показывает, что результат вычитания равен количественному эквиваленту шестнадцатеричного числа , которое представляет собой непрерывную последовательность из пяти максимальных шестнадцатеричных цифр F с началом в позиции и концом в позиции В этом случае, необходимо использовать правила шестнадцатеричной арифметики.

С ледующие свойства непосредственно вытекают из Свойства 6.

Свойство 7. Максимальный модуль либо положительного, либо отрицательного смешанного (n+m)–разрядного числа , которое может быть представлено в форме (1.1) и (1.2). определяется как

Действительно, максимальное по модулю q-значное число должно содержать во всех значащих разрядах максимальные цифры, т.е. может рассматриваться как непрерывная последовательность максимальных цифр с параметрами и . Соответствующая подстановка параметров в выражение (1.5) доказывает Свойство 7.

Свойство 8. Из свойства 6 следует, что максимальные модули целого и дробного чисел равны, соответственно

для целого числа:

для дробного числа:

Действительно, максимальное целое число можно рассматривать как непрерывную последовательность максимальных цифр, начинающуюся с позиции и заканчивающуюся на позиции .

Максимальное дробное число – последовательность максимальных цифр с началом и концом .

Соответствующие подстановки параметров b,e в выражение (1.5) доказывает Свойство 8.

Свойство 9. В силу особого места, занимаемого двоичной системой счисления, целесообразно уточнить Свойства 6–8 применительно к этому случаю.

С войство 9.1. Количественный эквивалент непрерывной двоичной последовательности, начинающейся с позиции b и заканчивающейся позицией e (Рисунок 2), определяется как

При этом, и Свойство 9.2. Максимальный модуль либо положительного, либо отрицательного смешанного (n+m)–разрядного двоичного числа, которое может быть представлено в форме (1.1) и (1.2). определяется как

Свойство 9.3. Из свойства 3 следует, что максимальные модули целого и дробного двоичных чисел равны, соответственно

для целого двоичного числа:

для дробного двоичного числа:

Замечание. Свойство 6 и Свойство 9.1 позволяет упростить реализацию некоторых арифметических операций, а также операций по преобразованию чисел, например, из двоичной в десятичную систему счисления Существенно упрощается, например, перевод двоичных чисел типа в десятичную систему. Непосредственное и “громоздкое” решение, а именно, суммирование полиномиальных коэффициентов , может быть заменено вычислением разности . Для “ручных” вычислений упрощение существенно.