Представить в виде полиномов заданные в таблице числа. Полиномиальные разложения должны быть выполнены в соответствующих исходным числам системах счисления.
Содержание отчета
Отчет должен содержать
Заполненную таблицу –задание.
Полиномиальные разложения исходных (заданных) в таблице чисел.
По усмотрению автора, в отчёт могут включаться примеры процедур выполненных преобразований, поясняющие основы используемых для преобразований методов.
Приложение. Теоретический материал к ЛР1 “Основы машинной арифметики”. Часть 1
1. Введение в системы счисления
1.1 Общие положения. Классификация систем счисления
Системой счисления называется совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.
Система счисления задает правила кодированной записи количественных эквивалентов, позволяющие для каждого числа однозначно получать его кодовую запись и по каждой кодовой записи — соответствующий ей количественный эквивалент.
Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами и служебными символами. Цифры это – 0,1,2,… и т.п. К служебным относятся необходимые для записи числа символы – запятая, плюс, минус и т.п.
В вычислительной технике применяются в основном системы счисления, которые получили название позиционных систем счисления .
И
х
“ место” во множестве известных систем
счисления иллюстрируется следующей
классификацией СС
Из диаграммы следует, что кроме позиционных систем счисления существуют также непозиционные.
Коротко, не углубляясь в тонкости непозиционных систем, целесообразно отметить следующее.
Цифрам в непозиционных системах соответствует некоторый числовой эквивалент, который не изменяется при изменении позиции (места) цифры в числе. Характерны в этом смысле римская и единичная (унитарная) системы. В таких системах, например десятичному числу 6, соответствуют числа VI (в римской) и 111111 (в унитарной) СС. В унитарной СС используется всего одна цифра, например – 1. Этой цифре сопоставлен количественный эквивалент, равный единице, а функцией при вычислении количественного эквивалента кода числа здесь является операция сложения.
Непозиционные системы характеризуются сложными и громоздкими алгоритмами выполнения арифметических операций, поэтому они не получили значительного распространения в вычислительной технике, в которой более широко используются позиционные системы.
Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от местоположения (разряда) этой цифры в совокупности цифр, представляющей заданное число.
Например, вес старшей цифры 3 в десятичном числе 33 в десять раз больше веса 3 в младшем разряде, а вес старшей цифры в двоичном числе 111 – в четыре раза больше веса младшей цифры.
Позиционные системы разделяют на однородные и смешанные. Во всех разрядах числа, представленного в однородной системе, используются цифры из одного и того же множества. Например, в обычной десятичной системе во всех разрядах любого числа используются цифры из множества {0,1, …, 9}, в двоичной системе — цифры из множества {0, 1} и т. п.
В смешанных системах множества цифр различны по характеру и мощности для разных разрядов числа. Примерами смешанных систем являются, например:
система для измерения углов и дуг (в разряде градусов могут быть использованы — 360 различных цифр, обозначающих градусы как координату положения, в разрядах минут и секунд –60 различных цифр),
система измерения времени, например, в секундах, минутах, часах, сутках, неделях,
система английских денежных единиц и т.п.
Если в позиционной системе для каждой цифры имеется отдельный символ, то ее называют системой с непосредственным представлением цифр. В позиционных системах с кодированным представлением цифр каждая цифра исходной СС кодируется определённой комбинацией из нескольких символов другой СС. Причём должно быть установлено взаимно-однозначное соответствие между количественным эквивалентом кодируемой цифры и количественным эквивалентом кодовой комбинации.
Примером кодированной системы, используемой в ЭВМ является двоично-десятичная система – BCD ( Binary Coded Decimal). В такой системе каждая десятичная цифра представляется кодом, в качестве которого используется комбинация из четырёх цифр двоичной системы счисления – тетрада.
Преимущественное распространение получили позиционные однородные системы счисления. Находят практическое применение как системы с непосредственным представлением чисел, так и кодированные СС. Далее, целесообразно ввести следующие понятия.
Всякая позиционная система задаётся тремя компонентами (А, , F). При этом, А— множество цифр системы; — функция, определяющая для цифр в каждом разряде, их количественный эквивалент; F — функция, определяющая по количественным эквивалентам цифр в записи числа количественный эквивалент самого числа.
Если в системе множество цифр состоит из элементов 0, 1, ... ..., q - 1, то система имеет естественное множество цифр (естественная система счисления).
Если q = m + k +1, а множество цифр делится на два подмножества —
{–m, –m+ 1, –m+2, ..., -1} и {0, 1, 2, ..., k}, то
если m= k то система имеет симметрическое множество цифр,
если k > m или m > k , то имеет место асимметрическое, соответственно, в положительную или отрицательную сторону, множество цифр.
Системы с такими свойствами называются – симметрической (m= k ) и асимметрической (k > m или m > k).
По виду функции системы классифицируются следующим образом.
Если
значение функции
и
не
совпадает при различных
,
то
система называется весомозначной, где
вес
–го разряда. Если для любых цифр 
из множества A
имеет место соотношение
,
то
система имеет основание
Наконец,
по характеру функции 
системы разделяются на аддитивные и
мультипликативные.
Если в качестве этой функции используется функция сложения, то систему называют аддитивной (как в римской и в унитарной), если же используется функция умножения, систему называют мультипликативной.
В вычислительной технике используются позиционные, однородные системы счисления, с естественным кодированием. Кроме того, получили распространение и кодированные системы. Такие системы рассматриваются ниже более подробно.