3.1.1. Сложение дробных и целых положительных чисел без переполнения. (Случай 1)
3.1.1.1 Дробные числа. Пусть складываются два положительных слагаемых представленных в форме дробных чисел. Пусть также (A+B)<1.
Очевидно, что сумма в этом случае – число, представимое в заданной разрядной сетке т.е. переполнение в этом случае возникать не должно. Слагаемые представляются в прямых кодах, а сумма также должна быть сформирована прямом коде и иметь признаки положительного числа.
А
налитически
эти допущения приводят к зависимости
Соотношения (7) интерпретируется следующим образом. Вследствие ограничения (А+В)<1 при сложении отсутствует перенос CY из старшего разряда модуля суммы в знаковый разряд. Такой перенос мог бы повлиять на значение знака суммы. Тогда, содержимое знакового разряда результата определяется суммой SA+SB+ CY =0*20+0*20+0=0. Таким образом, в отсутствии переноса, сумма – положительное число, представленное в прямом коде с нулевым знаковым разрядом, а переполнение отсутствует.
3.1.1.2 Целые числа. Пусть складываются два положительных слагаемых представленных в форме целых чисел. Пусть также (A+B)<2n-1. Сложение выполняется в прямых кодах. Очевидно, что сумма в этом случае должна быть положительным числом, переполнения возникать не должно, а сумма должна быть сформирована прямом коде.
Аналитически этот случай описывается как
Таблица 1 – Случаи сложения дробных и целых чисел в простых дополнительных кодах
Знаки слагаемых |
Знак |
Соотношение величин модулей слагаемых |
Возможность переполнения |
Случай |
Условия наличия/отсутствия переполнения |
Знак суммы, как признак наличия/отсутствия переполнения |
|
A |
B |
||||||
Одинаковые
|
+ |
+ |
несущественно |
возможно положительное переполнение |
1, переполн. нет, сумма положит. |
(A+B)<1 –для дроби (A+B)<2n-1 –для целого |
“+“, совпадает со знаками слагаемых
|
2, пол. переполнение |
(A+B) 1 – для дроби (A+B) 2n-1 –для целого |
“–“, противоположен знакам слагаемых
|
|||||
– |
– |
несущественно |
возможно отрицательное переполнение |
3, переполн. нет, сумма отрицат. |
|A+B|<1 –для дроби |A+B|<2n-1 –для целого |
“–“, совпадает со знаками слагаемых |
|
4, отр. переполнение |
|A+B|1 – для дроби |A+B|2n-1 – для целого |
“+“, противоположен знакам слагаемых
|
|||||
– |
– |
|A|+B|=1 –для дроби |A|+|B|=2n-1 – для целого |
особый случай переполнения |
5, особый случай переполнения |
|A|+|B|–1= 0 –для дроби |A|+|B|–2n-1= 0 – для целого |
“–“ , совпадает со знаками слагаемых |
|
Разные |
+ |
– |
|A| > |B| |
переполнение невозможно |
6, сумма положит. |
Переполнение невозможно, а соотношение модулей слагаемых определяет знак суммы |
“+” |
+ |
– |
|A| < |B| |
7, отриц. |
“–“ |
|||
– |
+ |
|A| > |B| |
8, отриц. |
“–“ |
|||
– |
+ |
|A| < |B| |
9, сумма положит. |
“+” |
|||
Как
и для дробных чисел, вследствие ограничения
(А+В)<2n-1,
отсутствует перенос CY
в знаковый разряд из старшего разряда
модуля числа. Поэтому, содержимое
знакового разряда определяется суммой
SA+SB+
CY
=0+0+0=0. Таким образом, сумма – положительное
число, представляемое в разрядной сетке
и сформированное в соответствующем
прямом коде.
|
|||
Выполнить в ПДК сложение дробных А,В и целых X,Y положительных операндов. |
|||
|
Дробные слагаемые равны |
Целые слагаемые равны |
|
А= 0.742187510=0.10111112; В= 0,187510 = 0.00110002, |
X= 3710 = 0 01001012; Y= 2410 = 0 00110002. |
||
Предварительное решение. При заданных значениях слагаемых, суммы (А+В) и (X+Y) должна быть равны, соответственно (А+В) =0.929687510 ®0.11101112 и (X+Y) = 6110 ®0 01111012. |
|||
Предварительные выводы. Полученные суммы не превосходят максимальных значений чисел, представимых на заданной разрядной сетке т.е 1 для дробного числа и 127 для целого. Таким образом, при заданных слагаемых переполнения возникать не должно. |
|||
Решение. Так как все слагаемые положительные числа, то они представляются непосредственно в прямых кодах. |
|||
Сложение в двоичных простых прямых кодах имеет вид: |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||
Т |
|||
Пример
1
Сложение
дробных и целых положительных
чисел без переполнения (Случай 1)
аким
образом, результаты – положительные
суммы без переполнения, сформированные
в прямом коде, что подтверждает условия
(7), (8). Признаком отсутствия переполнения
является знак суммы, совпадающий со
знаком слагаемых.