1.2 Позиционные системы счисления. Полиномиальное представление чисел

В дальнейшем используются следующие понятия и термины.

Во–первых, число содержащее целую и дробную части наз. смешанным. Во–вторых, число, состоящее только из целой части наз. целым, а число, состоящее только из дробной части наз. дробным числом.

В позиционной однородной системе с естественным множеством цифр основанием системы (q) является количество цифр, используемых для представления чисел.

Это мощность множества A , т.е. .

Так как одно и то же число может быть представлено в нескольких системах счисления, то применительно к его представлению в q-ичной системе целесообразно употреблять термин q-ичное число и обозначать как . Важнейшим свойством позиционных систем с естественным множеством цифр является следующее.

В позиционной однородной системе с естественным множеством цифр и основанием q любое (n+m)-разрядное смешанное q-ичное число является полиномом.

Целая часть числа представляется полином вида

Дробная часть имеет вид

где − оcнование системы счисления

− номер позиции цифры в числе { n–1, …0,-1,-2,…,-m}

{0,1,2,…,q-1} – цифра, соответствующая –ой позиции

− длина соответственно целой и дробной части числа.

Степень называется весом r-ой цифры (разряда) числа .

Смешанное число представляется суммой полиномов соответственно вида (1.1) и (1.2).

Если значение известно заранее, то числа обычно записывают в “привычной” символической форме

Представление числа в символической форме (1.4) наз. кодовой записью или кодом –ичного числа.

В выражении (1.4) запятая отделяет целую часть числа от дробной части, а для кодирования знака числа перед старшим разрядом используются служебные символы “ + ”, ” – “. Знак “ + ” в положительном числе может не проставляться и подразумеваться “по умолчанию”. Полиномиальное представления смешанного десятичного числа 873,56 имеет вид

Кодовые записи разных чисел в различных системах могут совпадать. Например, число 100 (сто) в десятичной системе и число 100 (четыре) в двоичной системе имеют одинаковые кодовые записи, но это разные числа, существенно отличающиеся по числовому эквиваленту. Поэтому, в кодовой записи числа необходимо указывать используемую систему счисления. Для известных систем достаточно указать основание системы. Для этого могут быть использованы следующие способы.

Во–первых, основание системы может быть указано в виде нижнего индекса после кодовой записи числа.

Во–вторых, в конце кода числа может использоваться идентификатор (суффикс), определяющий используемую систему счисления.

Таблица 1.1 — Способы указания системы счисления в коде числа

Обозначение системы в числе	Система счисления
	Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная	Двоично–десятичная
Используемый индекс	10	2	8	16	2–10
Буквенный идентификатор	D или d	B или b	Q или q	H или h	BCD

Например, записи1011011,10101₂ или 1011011,10101B означают, что для представления числа используется система счисления с основанием q=2.

Приведенные в Табл.1.1 аббревиатуры буквенных идентификаторов означают:

• D (decimal) для десятичной системы счисления,

• B(binary) для двоичной системы счисления,

• Q (octal) для восьмеричной системы счисления,

• H(hex) для шестнадцатеричной системы счисления,

• BCD– Binary Coded Decimal для двоично–десятичной системы.

Так как, q–ичного числа, представленные в соответствующих позиционных системах – полиномы, то элементарные арифметические операции сложение/вычитание, умножение/деление могут интерпретироваться как операции над полиномами. Это прослеживается на примере формализованных правил типа сложение “в столбик”, умножение ”в столбик” и т.д.