2.6 Методы, учитывающие специфические соотношения оснований систем счисления

Практический интерес представляют взаимные преобразования в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счислениях. Основания таких систем являются степенями двойки и в этом смысле системы оказываются взаимосвязаны.. Это свойство используется при преобразованиях.

2.6.1 Двоично-шестнадцатеричные и шестнадцатерично-двоичные преобразования

Двоично-шестнадцатеричные преобразования целых чисел (целой части смешанного числа)

Цель преобразований: представить целое число, заданное в двоичной системе счисления, в шестнадцитеричной системе счисления.При этом учитывается , что основания требуемой и исходной систем счисления связаны соотношением

Преобразования основаны на представлении двоичного полинома (1.1) в виде

Очевидно, что исходное число разбивается на группы по четыре разряда (тетрады). Каждая тетрада –целое число с весами разрядов 8-4-2-1. Вес тетрады зависит от ее позиции в исходном двоичном числе и определяется как

Преобразования по (2.4) описываются процедурой

Процедура 2.6 Преобразование целого двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления

1. Целая часть числа разбивается на группы из четырех разрядов (тетрады) Разбиение начинается с младшего разряда (“справа налево от запятой”).

2. Если в старшей тетраде менее, чем четыре цифры, то вместо отсутствующих цифр записывают нули, которые дополняют тетраду до полной.

3. Комбинация цифр в каждой тетраде рассматривается как целое число, которое заменяется соответствующей по количественному эквиваленту шестнадцатеричной цифрой.

4. Полученное число - целое число в шестнадцатеричной системе счисления.

Процедура иллюстрируется следующим примером

Пример 2.15.Преобразовать двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления

Старшая, неполная тетрада исходного двоичного числа дополнена до полной нулями, затем произведены замены тетрад по количественным эквивалентам. При замене можно использовать следующую таблицу соответствия между тетрадами и цифрами шестнадцатеричной системы счисления

Таблица 2.3– Соответствие “тетрада-цифра”

0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111
0	1	2	3	4	5	6	7

Таблица 2.3 (продолжение)

1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
8	9	A	B	C	D	E	F

Двоично-шестнадцатеричные преобразования дробных чисел (дробной части смешанного числа)

Цель преобразований: представить дробное число, заданное в двоичной системе счисления, в шестнадцитеричной системе счисления.

Преобразования основаны на представлении двоичного полинома (1.2) в виде

Процедура 2.7 Преобразование дробного двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления

1. Дробная часть числа разбивается на группы из четырех разрядов (тетрады) Разбиение начинается со старшего разряда (“слева направо от запятой”).

2. Если в младшей тетраде менее, чем четыре цифры, то вместо отсутствующих цифр записывают нули, которые дополняют тетраду до полной.

3. Комбинация цифр в каждой тетраде рассматривается как целое число, которое заменяется соответствующей по количественному эквиваленту шестнадцатеричной цифрой.

4. Полученное число - целое число в шестнадцатеричной системе счисления.

Так как тетрады как и ранее – целые числа, то и для дробной части при замене можно использовать данные таблицы соответствия Табл.2.1

Пример 2.16.

Младшая неполная тетрада исходного двоичного дробного числа дополнена до полной нулями, затем произведены замены тетрад по количественным эквивалентам.

Шестнадцатерично-двоичные преобразования чисел

Цель преобразований: представить число ( в том числе и смешанное), заданное в шестнадцитеричной системе счисления, в двоичной системе счисления.

Анализ разложений 2.4, 2.5 показывает, что преобразования обеспечиваются при выполнении следуюшей процедуры применимой как к целому и дробному двоичному числу.

Процедура 2.8 Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления

1. Каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется соответствующей по количественному эквиваленту двоичной тетрадой.

2. Незначащие старшие и младшие нулевые разряды соответственно в целой и дробной части двоичного числа для “ вписывания” в заданную разрядную сетку могут быть отброшены.

3. Положение запятой и знак числа – сохраняются.

Пример 2.17.

При конверсии можно воспользоваться данными таблицы (Табл.2.2)

Таблица 2.4– Соответствие “ цифра-тетрада”

0	1	2	3	4	5	6	7
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111

Таблица 2.4 (продолжение)

8	9	A	B	C	D	E	F
1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111