- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Предисловие
- •1.Элементы линейной алгебры.
- •1.1.Матрицы и определители 2-го порядка
- •1.2 Матрицы
- •1.3. Определители третьего и более высоких порядков
- •1.4. Свойства определителей
- •1.5. Линейные операции над матрицами
- •1.6. Умножение матриц
- •1.7. Обратные матрицы
- •1.8. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений - слау
- •2.1 Основные определения
- •2.2. Матричный метод решения невырожденных систем
- •2.3. Правило Крамера для решения невырожденных систем
- •2.4. Решение произвольных систем
- •2.5. Однородные системы линейных уравнений
- •3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •3.1. Векторы
- •3.2 Линейная зависимость и независимость
- •3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
- •3.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и некоторые другие уравнения прямой на плоскости
- •3.5. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •3.7. Уравнения плоскости в пространстве
- •3.8. Прямая в пространстве
- •3.9. Системы линейных неравенств
- •4. Пределы
- •4.1. Множества, операции над множествами
- •4.2. Предел функции
- •4.3. Основные теоремы о пределах
- •4.4. Непрерывность функции и вычисление простейших пределов
- •4.5 Раскрытие неопределенностей
- •4.6. Замечательные пределы
- •5. Производная и дифференциал.
- •5.1. Определение производной функции
- •5.2. Основные правила вычисления производных.
- •5.3 Таблица производных основных элементарных функций
- •5.4. Примеры вычисления производных.
- •5.5. Дифференциал функции
- •5.6. Связь производной и дифференциала.
- •5.7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •6. Приложения производной.
- •6.1. Монотонность, экстремумы
- •6.2. Выпуклость
- •6.3. Асимптоты графика функции
- •6.4 Полное исследование функции и построение её графика.
- •6.5. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •6.6 Экономическая интерпретация первой производной (предельный анализ)
- •6.7 Эластичность функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •7.1. Основные определения.
- •7.2. Предел и непрерывность
- •7.3. Частные производные функции нескольких переменных
- •7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
- •7.5. Частные производные второго порядка
- •7.6. Производная по направлению и градиент
- •7.7. Экстремум функции двух переменных
- •Вопросы к зачету
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Тема 3. Векторы, n-мерное векторное пространство
- •Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 5. Предел и непрерывность функции
- •Тема 6. Производная и дифференциал
- •Тема 7. Приложения производной
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Задачи и примеры для подготовки к зачету
- •Контрольная работа № 1
- •Требования по оформлению контрольной работы
- •Рекомендуемая литература основная
- •Дополнительная
- •Содержание
- •1.Элементы линейной алгебры. 4
- •Высшая математика
- •Часть 1
3.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и некоторые другие уравнения прямой на плоскости
1. Пусть, в общем уравнении прямой коэффициент , тогда разрешая это уравнение относительно , получим . Обозначаем , , тогда получим уравнение прямой, которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом:
,
здесь - угловой коэффициент прямой - равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс, коэффициент - ордината точки пересечения прямой с осью ординат.
2. Предположим теперь, что прямая проходит через точку . Тогда , и, вычитая почленно из уравнения прямой полученное равенство, получим уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящее через точку . Иногда говорят, уравнение пучка прямых, проходящих через т.
.
3. Если прямая проходит через две заданные точки и , то, подставляя в последнее уравнение координаты точки и, исключая из обоих уравнений угловой коэффициент, получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
.
4. Если в общем, уравнении прямой коэффициенты не равны нулю, то уравнение можно переписать в виде или . Обозначив , , получим уравнение прямой в отрезках:
, здесь и отрезки (с соответствующим знаком), которые отсекает прямая на осях координат.
5. Любой вектор параллельный данной прямой назовем направляющим вектором прямой. Если, кроме этого, на прямой задана точка , то произвольная точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен направляющему вектору . Условие коллинеарности и дает уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку с заданным направляющим вектором:
.
Пример 1. Написать уравнение прямой проходящей через точки , .
Решение. Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, получим .
Пример 2. Построить прямую на плоскости, найти угловой коэффициент прямой.
Решение. 1). Запишем уравнение прямой в отрезках. Для этого разделим обе части уравнения на 12, получим . Видим, что прямая отсекает на оси отрезок , на оси отрезок .
2) Выразим из уравнения прямой :
.
Видим, что угловой коэффициент , т.е. .
3.5. Взаимное расположение прямых на плоскости
Пусть две различные прямые на плоскости заданы своими общими уравнениями и . Положение каждой из них полностью определяется координатами любой точки на прямой и нормальным вектором этой прямой. Первая прямая имеет нормальный вектор , вторая - . Очевидно, что взаимное расположение этих прямых полностью определяется их нормальными векторами.
Прямые и параллельны, если векторы и коллинеарны, то есть существует скаляр λ такой, что или .
Прямые и перпендикулярны, если векторы и перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю или .
Один из смежных углов между двумя прямыми и определяется как угол между векторами и известной формулой .
Если же эти прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и , то угол между прямыми определяется формулой , которая является прямым следствием тригонометрической зависимости . Отсюда сразу же следуют условие параллельности и условие перпендикулярности прямых.
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой и найти проекцию этой точки на данную прямую.
Решение. Поскольку искомая прямая параллельна данной, то за ее нормальный вектор можно взять вектор - перпендикулярный заданной прямой. Тогда уравнение параллельной прямой или .
Проекцию точки на прямую можно найти как пересечение заданной прямой и перпендикулярной к ней. Заметим, что нормальный вектор заданной прямой является одновременно направляющим вектором искомого перпендикуляра, значит, уравнение этого перпендикуляра имеет вид , или, после несложных преобразований получаем общее уравнение перпендикулярной прямой .
В заключение ищем координаты точки пересечения двух прямых, для этого решаем систему уравнений: Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 7 и складываем, в результате получим , откуда . Исключая переменную , найдем . Итак, проекция точки на прямую есть точка .