1.3. Определители третьего и более высоких порядков

Ранее, для квадратной матрицы второго порядка мы ввели число, которое назвали определителем этой матрицы или просто определителем второго порядка. В математике для любой квадратной матрицы можно ввести подобным образом некую числовую характеристику, называемую определителем этой матрицы. Мы дадим, так называемое, рекуррентное определение определителя, т.е. определитель третьего порядка определяется через уже известный определитель второго порядка, определитель четвертого порядка - через уже известный определитель 3-го порядка и т.д., определитель n-го порядка определяется через уже известный определитель ( n-1)- го порядка. Все это можно обобщить в виде следующего определения. Определение. Определителем n-го порядка называется число, определяемое формулой , где, A_1j (j= )-алгебраическое дополнение к элементу а_1j - это определитель, полученный из данного вычеркиванием первой строки и j-го столбца, т.е. его порядок на единицу меньше исходного определителя.

Так, для вычисления определителя третьего порядка, данное определение дает следующую простую формулу .

После вычисления определителей второго порядка в правой части этого выражения, раскрытия скобок и соответствующей перегруппировки слагаемых, легко увидеть, что определитель 3-го порядка можно вычислить по, так называемому, правилу треугольников, которое в символической форме можно проиллюстрировать следующей схемой:

Пример. Вычислить определитель третьего порядка.

Решение. Решим пример двумя способами:

1.

2.

Ответ: 131

1.4. Свойства определителей

Перечислим основные свойства определителей.

Свойство 1. Значение определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами, т.е. определители исходной и транспонированной матриц равны.

Замечание. Это свойство, устанавливающее равноправие строк и столбцов определителя, позволяет формулировать дальнейшие свойства только для строк (помним, что они верны и для столбцов!).

Свойство 2. Если в определителе две строки поменять местами, то определитель поменяет знак на противоположный.

Свойство 3. Умножение определителя на число приводит к умножению на это число элементов какой-либо строки определителя.

Свойство 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки равен нулю.

Свойство 5. Если к элементам какой-либо строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится

Свойство 6. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки определителя на их алгебраические дополнения, т.е. .

Приведем несколько примеров, которые показывают, как свойства определителей помогают вычислить сам определитель.

Пример 1. Вычислить определитель пятого порядка

.

Решение. Заметим, что элементы последней строки определителя, получаются из элементов первой строки умножением на 2. Тогда, используя свойство 3, вынесем общий множитель за знак определителя. Но после этого, полученный определитель будет иметь две одинаковые строки и значит, равен нулю (свойство 4) .

Пример 2.Вычислить определитель ∆= .

Решение. Так как все элементы третьего столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Докажите!

Пример 3. Вычислить определитель треугольной матрицы.

Решение. Разлагая исходный определитель и каждый последующий по первому столбцу (свойство 6), получим

Вывод. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.