- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Предисловие
- •1.Элементы линейной алгебры.
- •1.1.Матрицы и определители 2-го порядка
- •1.2 Матрицы
- •1.3. Определители третьего и более высоких порядков
- •1.4. Свойства определителей
- •1.5. Линейные операции над матрицами
- •1.6. Умножение матриц
- •1.7. Обратные матрицы
- •1.8. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений - слау
- •2.1 Основные определения
- •2.2. Матричный метод решения невырожденных систем
- •2.3. Правило Крамера для решения невырожденных систем
- •2.4. Решение произвольных систем
- •2.5. Однородные системы линейных уравнений
- •3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •3.1. Векторы
- •3.2 Линейная зависимость и независимость
- •3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
- •3.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и некоторые другие уравнения прямой на плоскости
- •3.5. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •3.7. Уравнения плоскости в пространстве
- •3.8. Прямая в пространстве
- •3.9. Системы линейных неравенств
- •4. Пределы
- •4.1. Множества, операции над множествами
- •4.2. Предел функции
- •4.3. Основные теоремы о пределах
- •4.4. Непрерывность функции и вычисление простейших пределов
- •4.5 Раскрытие неопределенностей
- •4.6. Замечательные пределы
- •5. Производная и дифференциал.
- •5.1. Определение производной функции
- •5.2. Основные правила вычисления производных.
- •5.3 Таблица производных основных элементарных функций
- •5.4. Примеры вычисления производных.
- •5.5. Дифференциал функции
- •5.6. Связь производной и дифференциала.
- •5.7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •6. Приложения производной.
- •6.1. Монотонность, экстремумы
- •6.2. Выпуклость
- •6.3. Асимптоты графика функции
- •6.4 Полное исследование функции и построение её графика.
- •6.5. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •6.6 Экономическая интерпретация первой производной (предельный анализ)
- •6.7 Эластичность функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •7.1. Основные определения.
- •7.2. Предел и непрерывность
- •7.3. Частные производные функции нескольких переменных
- •7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
- •7.5. Частные производные второго порядка
- •7.6. Производная по направлению и градиент
- •7.7. Экстремум функции двух переменных
- •Вопросы к зачету
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Тема 3. Векторы, n-мерное векторное пространство
- •Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 5. Предел и непрерывность функции
- •Тема 6. Производная и дифференциал
- •Тема 7. Приложения производной
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Задачи и примеры для подготовки к зачету
- •Контрольная работа № 1
- •Требования по оформлению контрольной работы
- •Рекомендуемая литература основная
- •Дополнительная
- •Содержание
- •1.Элементы линейной алгебры. 4
- •Высшая математика
- •Часть 1
1.Элементы линейной алгебры.
1.1.Матрицы и определители 2-го порядка
.
Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными х1 и х2:
Коэффициенты при неизвестных здесь обозначены аij , где i- номер уравнения j- номер неизвестного при котором стоит данный коэффициент, в1 и в2 – свободные члены. Указанные величины, полностью определяющие систему, можно свести в следующие таблицы чисел, заключенные в круглые скобки:
, , , которые называются матрицами.
А-главная матрица системы, В-матрица-столбец свободных членов, Х-матрица-столбец неизвестных. Для квадратных матриц, т.е. матриц у которых число строк равно числу столбцов, в математике вводится важная числовая характеристика, которая называется определителем.
Определение. Определителем квадратной матрицы А называется число, которое обозначается |А|=∆= и вычисляется по формуле =а11а22 –а21а12.
Покажем, как можно использовать определители для решения систем линейных алгебраических уравнений. Будем решать систему методом исключения неизвестных. Для того чтобы исключить из системы уравнений неизвестное , умножим первое уравнение системы на а22 , а второе на (-а12) и сложим эти уравнения. Аналогично исключаем неизвестное . После элементарных алгебраических преобразований, получим легко решаемую систему уравнений эквивалентную данной:
Заметим, что при неизвестных х1 и х2 один и тот же коэффициент ∆ - определитель главной матрицы А исходной системы уравнений, а справа стоят определители второго порядка и , которые получаются из ∆ заменой соответственно первого и второго столбца столбцом свободных членов.
В указанных обозначениях, преобразованная система уравнений (эквивалентная данной!) записывается в виде
, и если 0, то решение системы: , .
Таким образом, мы не только познакомились с матрицами и определителями второго порядка, но и вывели, так называемое, правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Если главный определитель системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) не равен нулю , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам
, здесь определители получаются из главного определителя системы заменой i-го столбца на столбец свободных членов
Пример. Решить систему уравнений
Решение. Главная матрицы системы . Определитель матрицы
.
Вычислим вспомогательные определители:
.
Так как главный определитель системы , то по правилу Крамера система имеет единственное решение, которое определяется формулами:
.
Ответ .
1.2 Матрицы
Определение. Матрицей порядка mxn (m на n) назовем таблицу чисел из m строк и n столбцов. Числа называются элементами матрицы. Первый индекс - номер строки, а второй индекс - номер столбца на пересечении которых лежит этот элемент. Матрицу обычно записывают как таблицу чисел в круглых скобках
Матрицы обозначают также .
По своим размерам и составу элементов обычно выделяют следующие виды матриц, названия которых часто говорят сами за себя
1. Матрица – строка – это матрица, состоящая из одной строки .
2. Матрица- столбец - это матрица, состоящая из одного столбца .
3. Нулевая матрица – все элементы матрицы равны 0.
4. Квадратная матрица – число строк равно числу столбцов : .
У квадратной матрицы выделяют главную диагональ, т.е. элементы и побочную диагональ- .
5. Единичная матрица, которая обозначается обычно буквой . Это квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
6. Верхняя треугольная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы стоящие ниже главной диагонали равны нулю.
7. Нижняя треугольная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы стоящие выше главной диагонали равны нулю.
.
8. Если строки матрицы сделать ее столбцами (таким образом столбцы станут строками), то получим матрицу, которая называется транспонированной к матрице и обозначается .Если размер А- m n, то размерность матрицы АТ - n m. Например, если транспонировать матрицу-столбец , то Т- это будет матрица – строка с теми же элементами!