3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Вычислим расстояние от точки до прямой . Для этого соединим точку с произвольной точкой лежащей на прямой, тогда модуль проекции вектора на направление нормали к прямой и будет искомым расстоянием .

, но точка лежит на прямой, значит, , с учетом этого окончательно получаем формулу для расстояния от точки до прямой :

Пример. Найти расстояние между параллельными прямыми и .

Решение. Для того чтобы вычислить расстояние между параллельными прямыми, достаточно взять произвольную точку на одной из прямых, и вычислить расстояние от этой точки до второй прямой. Положим для первой прямой , тогда , откуда , то есть точка лежит на прямой , и расстояние от этой точки до второй прямой равно . Расстояние между прямыми .

3.7. Уравнения плоскости в пространстве

Рассуждая также как в п.3.3 при выводе уравнения прямой легко получить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

Раскрывая скобки, и обозначая , получим общее уравнение плоскости:

Если коэффициенты не равны нулю, то простейшими преобразованиями (см.п.3.4) общее уравнение плоскости приводится к уравнению плоскости в отрезках:

где - отрезки, которые отсекает плоскость по осям координат.

Взаимное расположение плоскостей, и как и в случае прямых на плоскости (п.3.5.) полностью определяется их нормальными векторами.

• Плоскости параллельны,

• Плоскости перпендикулярны,

• Угол между плоскостями,

• Расстояние от точки до плоскости ,

3.8. Прямая в пространстве

Пусть прямая в пространстве проходит через точку параллельно некоторому вектору , который называется направляющим вектором прямой. Тогда произвольная точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Условие коллинеарности в координатной форме и дает канонические уравнения прямой:

.

Если каждую из дробей обозначить через , и выразить переменные , то получим параметрические уравнения прямой:

Взаимное расположение двух прямых или прямой и плоскости в пространстве полностью определяется расположением направляющих векторов прямых и нормального вектора плоскости. Общие идеи решения задач на эту тематику проиллюстрируем на следующем примере.

Пример. Найти проекцию точки на плоскость

Решение. Проекцией точки на плоскость будет точка пересечения данной плоскости и прямой, проведенной через точку перпендикулярно плоскости.

Нормальный вектор плоскости будет направляющим вектором перпендикулярной прямой, значит канонические уравнения прямой:

. Осталось найти точку пересечения этой прямой и плоскости. Для этого канонические уравнения записываем в параметрической форме и добавляем к полученной системе уравнение плоскости, после чего решаем простую систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

Для решения системы, подставляем из первых трех уравнений в четвертое, получим или . Откуда . Теперь находим координаты точки пересечения .