Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Высшая математика часть 1.doc
Скачиваний:
61
Добавлен:
15.11.2019
Размер:
3.15 Mб
Скачать

3.2 Линейная зависимость и независимость

Определение. Линейной комбинацией системы векторов называется выражение , где произвольные числа. Линейная комбинация называется тривиальной, если , в противном случае – нетривиальной.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры , не все равные нулю, что выполняется равенство , другими словами, существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов. Если же равенство возможно только при , система векторов линейно независима.

Достаточно легко показать, что в случае линейной зависимости системы векторов, по крайней мере, один из них можно записать в виде линейной комбинации остальных векторов или, по другому, хотя бы один из векторов линейно выражается через другие. Верно и обратное утверждение. Например, векторы линейно зависимы, так как они связаны равенством , то есть вектор линейно выражается через вектор .

Применяя теорию систем линейных уравнений, легко показать, что в n- мерном векторном пространстве Rn максимальное количество линейно независимых векторов равно размерности пространства n. Поскольку, добавление к этому максимальному количеству линейно независимых векторов любого вектора приведет уже к линейно зависимой системе из n+1-ого вектора , то этот добавленный вектор будет линейно выражаться через остальные n векторов. Система из n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом этого пространства. Очевидно, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы, т.е. является линейной комбинацией базисных векторов. Коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами вектора в данном базисе.

Пример. Показать, что векторы образуют базис в трехмерном векторном пространстве, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Поскольку в трехмерном векторном пространстве базис образуют любые 3 линейно независимых вектора, проверим линейную независимость данных векторов. Векторы линейно независимы, если равенство возможно только при . Расписав покоординатно, для нахождения получим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными

Определитель этой системы , значит, система имеет единственное решение , то есть векторы - линейно независимы и образуют базис.

Пусть вектор линейно выражается через базисные векторы или в координатной форме, что равносильно следующей системе линейных уравнений с определителем отличным от нуля. Система имеет единственное решение , которое можно найти, например, по правилу Крамера (найдите!). Следовательно, .

3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой

Аналитическая геометрия изучает свойства линий на плоскости и поверхностей в пространстве по их аналитическим уравнениям в некоторой системе координат. Уравнение задает на плоскости линию L, если координаты любой точки , лежащей на линии L, удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек не лежащих на линии L ему не удовлетворяют.

Пусть, прямая проходит через точку перпендикулярно заданному вектору , который назовем нормальным вектором прямой. Произвольная точка лежит на прямой , тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору , т.е. скалярное произведение . Расписав скалярное произведение в координатной форме, получим уравнение или, после раскрытия скобок, обозначив , уравнение , которое называется общим уравнением прямой.

Пример 1. Составить уравнение прямой проходящей через т. перпендикулярно вектору .

Решение. Заметим, что А=2, В=5, и подставляя указанные значения в уравнение , получим . Раскрывая скобки, и приводя подобные члены, получим в результате общее уравнение прямой

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой

Решение. Заметим, что вектор нормальный к одной из параллельных прямых - заданной, перпендикулярен и к другой прямой - искомой. Тогда, точно так же, как в первом примере, получим или