- •Высшая математика
- •Часть 1
- •Предисловие
- •1.Элементы линейной алгебры.
- •1.1.Матрицы и определители 2-го порядка
- •1.2 Матрицы
- •1.3. Определители третьего и более высоких порядков
- •1.4. Свойства определителей
- •1.5. Линейные операции над матрицами
- •1.6. Умножение матриц
- •1.7. Обратные матрицы
- •1.8. Ранг матрицы
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений - слау
- •2.1 Основные определения
- •2.2. Матричный метод решения невырожденных систем
- •2.3. Правило Крамера для решения невырожденных систем
- •2.4. Решение произвольных систем
- •2.5. Однородные системы линейных уравнений
- •3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
- •3.1. Векторы
- •3.2 Линейная зависимость и независимость
- •3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
- •3.4 Уравнение прямой с угловым коэффициентом и некоторые другие уравнения прямой на плоскости
- •3.5. Взаимное расположение прямых на плоскости
- •3.6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •3.7. Уравнения плоскости в пространстве
- •3.8. Прямая в пространстве
- •3.9. Системы линейных неравенств
- •4. Пределы
- •4.1. Множества, операции над множествами
- •4.2. Предел функции
- •4.3. Основные теоремы о пределах
- •4.4. Непрерывность функции и вычисление простейших пределов
- •4.5 Раскрытие неопределенностей
- •4.6. Замечательные пределы
- •5. Производная и дифференциал.
- •5.1. Определение производной функции
- •5.2. Основные правила вычисления производных.
- •5.3 Таблица производных основных элементарных функций
- •5.4. Примеры вычисления производных.
- •5.5. Дифференциал функции
- •5.6. Связь производной и дифференциала.
- •5.7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
- •6. Приложения производной.
- •6.1. Монотонность, экстремумы
- •6.2. Выпуклость
- •6.3. Асимптоты графика функции
- •6.4 Полное исследование функции и построение её графика.
- •6.5. Наименьшее и наибольшее значения функции
- •6.6 Экономическая интерпретация первой производной (предельный анализ)
- •6.7 Эластичность функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •7.1. Основные определения.
- •7.2. Предел и непрерывность
- •7.3. Частные производные функции нескольких переменных
- •7.4. Дифференциал функции нескольких переменных
- •7.5. Частные производные второго порядка
- •7.6. Производная по направлению и градиент
- •7.7. Экстремум функции двух переменных
- •Вопросы к зачету
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Тема 3. Векторы, n-мерное векторное пространство
- •Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •Тема 5. Предел и непрерывность функции
- •Тема 6. Производная и дифференциал
- •Тема 7. Приложения производной
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Задачи и примеры для подготовки к зачету
- •Контрольная работа № 1
- •Требования по оформлению контрольной работы
- •Рекомендуемая литература основная
- •Дополнительная
- •Содержание
- •1.Элементы линейной алгебры. 4
- •Высшая математика
- •Часть 1
3.2 Линейная зависимость и независимость
Определение. Линейной комбинацией системы векторов называется выражение , где произвольные числа. Линейная комбинация называется тривиальной, если , в противном случае – нетривиальной.
Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры , не все равные нулю, что выполняется равенство , другими словами, существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов. Если же равенство возможно только при , система векторов линейно независима.
Достаточно легко показать, что в случае линейной зависимости системы векторов, по крайней мере, один из них можно записать в виде линейной комбинации остальных векторов или, по другому, хотя бы один из векторов линейно выражается через другие. Верно и обратное утверждение. Например, векторы линейно зависимы, так как они связаны равенством , то есть вектор линейно выражается через вектор .
Применяя теорию систем линейных уравнений, легко показать, что в n- мерном векторном пространстве Rn максимальное количество линейно независимых векторов равно размерности пространства n. Поскольку, добавление к этому максимальному количеству линейно независимых векторов любого вектора приведет уже к линейно зависимой системе из n+1-ого вектора , то этот добавленный вектор будет линейно выражаться через остальные n векторов. Система из n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом этого пространства. Очевидно, что любой вектор пространства линейно выражается через базисные векторы, т.е. является линейной комбинацией базисных векторов. Коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами вектора в данном базисе.
Пример. Показать, что векторы образуют базис в трехмерном векторном пространстве, и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Поскольку в трехмерном векторном пространстве базис образуют любые 3 линейно независимых вектора, проверим линейную независимость данных векторов. Векторы линейно независимы, если равенство возможно только при . Расписав покоординатно, для нахождения получим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными
Определитель этой системы , значит, система имеет единственное решение , то есть векторы - линейно независимы и образуют базис.
Пусть вектор линейно выражается через базисные векторы или в координатной форме, что равносильно следующей системе линейных уравнений с определителем отличным от нуля. Система имеет единственное решение , которое можно найти, например, по правилу Крамера (найдите!). Следовательно, .
3.3. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой
Аналитическая геометрия изучает свойства линий на плоскости и поверхностей в пространстве по их аналитическим уравнениям в некоторой системе координат. Уравнение задает на плоскости линию L, если координаты любой точки , лежащей на линии L, удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек не лежащих на линии L ему не удовлетворяют.
Пусть, прямая проходит через точку перпендикулярно заданному вектору , который назовем нормальным вектором прямой. Произвольная точка лежит на прямой , тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору , т.е. скалярное произведение . Расписав скалярное произведение в координатной форме, получим уравнение или, после раскрытия скобок, обозначив , уравнение , которое называется общим уравнением прямой.
Пример 1. Составить уравнение прямой проходящей через т. перпендикулярно вектору .
Решение. Заметим, что А=2, В=5, и подставляя указанные значения в уравнение , получим . Раскрывая скобки, и приводя подобные члены, получим в результате общее уравнение прямой
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой
Решение. Заметим, что вектор нормальный к одной из параллельных прямых - заданной, перпендикулярен и к другой прямой - искомой. Тогда, точно так же, как в первом примере, получим или