Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вызначаны інт..doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
15.04.2019
Размер:
342.02 Кб
Скачать

Глава 2. Вызначаны інтэграл

§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі

Няхай функцыя f непарыўная ў некаторым пункце хо мноства Х, г.зн. (xX)(x  xo)f(x)  f(xo) . (1)

Вядома, што  залежыць ад выбара ліку . Але можна паказаць, што  залежыь і ад выбар пункта хо,у якім азначана непарыўнасць функцыі f (самастойна “К.мат.ана.”, т.1, гл.IY, §12).

Узнікае пытанне: ці існуе непарыўная на прамежку Х функцыя , для якой для кожнага  > 0 можна знайсці адпаведнае  > 0, якое бы не залежыла ад зменнай х, г.зн. адно і тояжа для ўсіх пунктаў х  Х ?

Адказ у азначэнні раўнамернай непарыўнасці функцыі.

Азначэнне 1. Функцыя f называецца раўнамерна непарыўнай на прамежку Х, калі для кожнага  > 0 знойдзецца такое  > 0, што для любых двух пунктаў х1, х2  Х, якія задавальняюць няроўнасці x1  x2, выконваецца няроўнасць f(x1)  f(x2) :

(x12X)(x1  x2)f(x1  f(x2) . (2)

Заўвага. Калі функцыя f раўнамерна непарыўная на прамежку Х, то яна і непарыўная ў кожным х  Х.

Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі

Уявіце сябе тонкі , але цвёрды прут. Трэба зрабіць муфту даўжыні  з цыліндрычнай адтуліна й дыяметра , якая магла бы легка рухацца ўздоўж прута ад пункта А(a,f(a)) да пункта В(b,f(b)) і занімала становішча, пры якім яе вось была паралельна восі Ох. Даўжыня  залежыць толькі ад  - дыяметра адтуліны. Чым меней , тым карацей муфта.

Рысунак.

Тэарэма Кантара. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то яна раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку.

 метадам ад працілеглага.

Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], але не з’яўляецца раўнамерна непарыўная на гэтым адрэзку. Гэта значыць, што для некаторага  > 0 і любога як мага малога > 0, знойдуцца два пункты х1, х2  [a,b] такіе, што з няроўнасці x1  x2  няроўнасць f(x1)  f(x2)  . (3)

Выбярэм бясконца малую паслядоўнасць . Будзем сцвярджаць, што для заданага  > 0 і любога n  N знойдуцца два пункты х1n, х2n  [a,b] такіе,што для іх выконваецца няроўнасць x1n  x2nn=  , (4)але  няроўнасць f(x1n)  f(x2n)   (3*). Мы атрымалі на адрэзку [a,b] дзве паслядоўнасці (х1n) (5) , (х2n) (6). Будзем лічыць, што паслядоўнасць (5) збягаецца да ліку хо  [a,b], г.зн. х1n - хо  0, калі n   (7). Пакажам, што і паслядоўнасць (6) збягаецца да хо, г.зн., што х2n - хо  0, калі n  .

х2n - хо = х2n + x1n - x1n - хо  х2n – хo   х2n - x1n +  x1n - хо.

Адпаведна няроўнасці (4) і сцвярджэння (7) х2n - x1n , х1nо  0 х2n  хо. Мы даказалі, што абедзве паслядоўнасці (х1n) і (х2n) збягаюцца да аднаго ліку х о. Паслядоўнасці (х1n) і (х2n) абмежаваныя і таму для іх працуе тэарэма Бальцана-Кашы, г.зн. можна вылучыць збежныя падпаслядоўнасці (х1nk) i (х2nk), якія таксама збягаюцца да хо. Паколькі фуекцыя f непарыўная ў кожным пункце адрэзка [a,b], то яна непарыўная і ў пункце хо. Адпаведна азначэння паводле Гайнэ паслядоўнасці значэнняў функцыі (f(х1nk)) i (f(х2nk)) павінны імкнуцца да f(хо), а іх рознасць f(х1nk)  f(х2nk) , калі n  . Гэта супярэчыць няроўнасці (3*): f(x1n)  f(x2n)   n у тым ліку і для nk.

Атрыманая супярэчнасць даказвае памылковасць дапушчэння аб тым, што функцыя f не з’яўляецца раўнамерна непарыўнай.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.