§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў

Метад інтэгравання па частках

Тэарэма 1. Няхай функцыі u i v непарыўныя разам са сваімі вытворнымі на адрэзку [a,b], тады мае месца формула

= uv_a^b - . (1)

Доказ зрабіць самастойна.

Прыклад.

Метад інтэгравання заменай зменнай

Тэарэма 2. Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], функцыя x = u(t) мае ўласцівасці:

1. непарыўная разам з вытворнай u(t) на адрэзку [,];

2. t [,] значэнні функцыі u(t) не выходзяць за межы адрэзка [a,b];

3. u() = a, u() = b.

Тады мае месца формула:

= . (2)



Прыклады.

Інтэгральнае аэначэнне лагарыфма

У главе “Элементарныя функцыі” лагарыфмічная функцыя разгладалася як адваротная да паказнікавай.

Азначэнне 1. Лагарыфмам ліку x > 0 па аснове е называецца і абазначаецца lnx = . (1)

Азначэнне 2. Функцыя, значэнні якой можна знайсці па формуле (1), называецца лагарыфмічнай па аснове е і абазначаецца lnx, а азначэнне , якое задана раўнаннем (1), называецца інтэгральным азначэннем лагарыфма.

Па т.1 §6 (lnx)’ = ( )’ = 1/x.

§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці

Азначэнне 1. Мнагавугольнікам называецца фігура РR², якую можна прадставіць у выглядзе аб’яднання концавага ліку трохвугольнікаў, якія не маю агульных нутраных пунктаў.

Прыклад.

Плошчу мнагавугольніка абазначым S(P).

У курсе геаметрыі было даказана, што існуе адзінае адлюстраванне S мноства мнагавугольнікаў у мноства сапраўдных лікаў, якое мае наступныя ўласцівасці:

1. Неадмоўнасць: для кожнага мнагавугольніка S(P)  0.

2. Інварыянтнасць: калі А = В, то S(А) = S(В).

3. Адытыўнасць: калі А і В не маюць агульных нутраных пунктаў, то S(АВ) = S(А) + S(В).

4. Нармаванасць: існуе мнагавугольнік адзінкавай плошчы

(,S(А)= 1), які называецца адзінкавым квадратам.

5. Манатоннасць: калі А  В , то S(А)  S(В).

П2. Паняцце квадравальнай фігуры

Няхай Р – фігура ў прасторы R²: P R². Праз мноствы {A} i {B} абазначым адпаведна мноствы мнагавугольнікаў, якія змяшчаюцца ў Р і якія змяшчаюць Р: {A}Р, {В}  Р, а праз S(А) і S(В) – адпаведна плошчы такіх мнагавугольнікаў.

Паколькі кожны мнагавугольнік А змяшчаецца ў В, то А  В і па ўласцівасці манатоннасці S(А)  S(В) (1). Гэта значыць, што мноства {S(A)} абмежавана зверху плошчай любога мнагавугольніка В, а мноства {S(В)} абмежавана знізу плошчай любога мнагавугольніка А.

Абазначым sup{ S(А) } = S*(P) (2) , inf {S(В)} = S_*(P) (3). Па уласцівасці sup і inf:

S(А)  S_*(P), S(В)  S*(P)  S_*(P)  S^*(P).

Заўвага 1. Калі фігура Р не змяшчае ні воднага мнагавугольніка, то будзем лічыць, што S*(P) = 0, клі няма мнагавугольнікаў, якія змяшчаюць Р, то S_*(P) = 0.

Азначэнне 2. S_*(P) называецца нутраной плошчай (нутраной мерай) фігуры Р, а S^*(P) – вонкавай плошчай (вонкавай мерай) фігуры Р.

Азначэнне 3. Калі выконваецца роўнасць S_*(P) = S^*(P) = S(P) (4), то фігура Р называецца квадравальнай, а лік S(P) – плошчай фігуры Р.

Азначэнне 4. Адлюстраванне (функцыя) S мноства квадравальных фігур у мноства сапраўдных лікаў: S : {P}  R, якое мае уласцівасці (1-5) называецца плошчай на класе квадравальных фігур.

Прыклады.