Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вызначаны інт..doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
15.04.2019
Размер:
342.02 Кб
Скачать

§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу

Няхай на адрэзку [a,b] азначана непарыўная функцыя f. Па І т.Вайерштраса яна абмежаваная на ім, а г.зн. абмежаваная на кожным частковым адрэзку.

Выканаем Т –разбіўку адрэзка пунктамі а = хо< х1 < …< хk < …< хn = b, адрэзак [xk-1, хk] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т. Па ІІ т. Вайерштраса на кожным частковым адрэзку існуюць дакладная ніжняя і верхняя межы мноства значэнняў функцыі f : mk = inf{f(x)}, Mk = sup{f(x)}.

Азначэнне 1. Сумы:

s = m1x1 + m2x2 + …+mkxk + … + mnxn = (1)

i S = M1x1 + M2x2 + …+ Mkxk + … + Mnxn = (2)

называюцца адпаведна ніжняй і верхняй сумамі Дарбу функцыі f разбіўкі Т адрэзка [a,b].

Паколькі f непарыўная функцыя , то s i S – інтэгральныя сумы.

Геаметрычны сэнс: ніжняя сума Дарбу – плошча прыступкавай фігуры, якая ўпісана ў крывалінейную трапецыю і складаецца з прамавугольнікаў з асновамі xk і вышынямі mk; верхняя сума Дарбу – плошча прыступкавай фігуры, у якую ўпісана крывалінейная трапецыя і якая складаецца з прамавыгольнікаў з асновамі xk і вышынямі Mk.

п1. Уласцівасці сум Дарбу

Няхай s, S, I(T,f, k) – сумы Дарбу і інтэгральная сума Рымана.

Лема 1. Для любой Т – разбіўкі адрэзка [a,b] маюць месца няроўнасці:

а) s  I(T,f, k)  S;

б) s  S.

Лема 2. Пры павялічэнні пунктаў разбіўкі Т ніжняя сума Дарбу можа толька павялічваецца, а верхняя сума Дарбу толькі памяншацца.

 для ніжняй сумы Дарбу (для верхняй сумы Дарбу зрабіць самастойны доказ).

Малюнкі

Заўвага. Калі f(x) , то даказаная ўласцівасць мае геаметрычны сэнс: сума плошчаў прамавугольнікаў з асновамі [xk-1, х'] і [x', хk] не меней плошчы прамавугольнікаў з асновамі [xk-1, хk].

Лема 3. Ніжнія сумы Дарбу не болей верхніх сум Дарбу нават іншай разбіўкі.

Няхай s' i S' – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т',

s" i S" – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т",

s i S – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т.

Разбіўка Т аб’ядноўвае разбіўкі Т' і Т ".

Азначэнне 2. Ніжнім інтэгралам Дарбу называецца дакладная верхняя мяжа мноства ніжніх сум Дарбу {s} T – разбіўкі адрэзка [a,b] і абазначаецца I* = sup{s}.

Верхнім інтэгралам Дарбу называецца дакладная ніжняя мяжа мноства верхніх сум Дарбу {S} T – разбіўкі адрэзка [a,b] і абазначаецца I* = inf{S}.

Відавочна, што I*  I*. Таму на падставе уласцівасці inf і sup мае месца няроўнасць s  I*  I* S для любых ніжніх і верхніх сум Дарбу.

Лема 4. Для любых інтэгральных сум I(T,f, k) адпаведнай Т - разбіўкі адрэзка [a,b] маюць месца няроўнасці

 I(T,f, k) - I*  S – s i  I*- I(T,f, k)  S – s.

§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый

Нагадаем азначэнне інтэгравальнай функцыі.

Тэарэма 1. Для таго, каб функцыя f была інтэгравальнай на адрэзку [a,b] неабходна і дастаткова , каб  >   > , што як толькі  < , то мае месца няроўнасць S - s < . (1)

Тэарэма 2. Для таго, каб функцыя f была інтэгравальнай на адрэзку [a,b] неабходна і дастаткова , каб на гэтым адрэзку былі роўныя ніжні і верхні інтэгралы Дарбу: I* = I*. (без доказа)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.