§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу

Няхай на адрэзку [a,b] азначана непарыўная функцыя f. Па І т.Вайерштраса яна абмежаваная на ім, а г.зн. абмежаваная на кожным частковым адрэзку.

Выканаем Т –разбіўку адрэзка пунктамі а = х_о< х₁ < …< х_k < …< х_n = b, адрэзак [x_k-1, х_k] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т. Па ІІ т. Вайерштраса на кожным частковым адрэзку існуюць дакладная ніжняя і верхняя межы мноства значэнняў функцыі f : m_k = inf{f(x)}, M_k = sup{f(x)}.

Азначэнне 1. Сумы:

s = m₁x₁ + m₂x₂ + …+m_kx_k + … + m_nx_n = (1)

i S = M₁x₁ + M₂x₂ + …+ M_kx_k + … + M_nx_n = (2)

называюцца адпаведна ніжняй і верхняй сумамі Дарбу функцыі f разбіўкі Т адрэзка [a,b].

Паколькі f непарыўная функцыя , то s i S – інтэгральныя сумы.

Геаметрычны сэнс: ніжняя сума Дарбу – плошча прыступкавай фігуры, якая ўпісана ў крывалінейную трапецыю і складаецца з прамавугольнікаў з асновамі x_k і вышынямі m_k; верхняя сума Дарбу – плошча прыступкавай фігуры, у якую ўпісана крывалінейная трапецыя і якая складаецца з прамавыгольнікаў з асновамі x_k і вышынямі M_k.

п1. Уласцівасці сум Дарбу

Няхай s, S, I(T,f, _k) – сумы Дарбу і інтэгральная сума Рымана.

Лема 1. Для любой Т – разбіўкі адрэзка [a,b] маюць месца няроўнасці:

а) s  I(T,f, _k)  S;

б) s  S.



Лема 2. Пры павялічэнні пунктаў разбіўкі Т ніжняя сума Дарбу можа толька павялічваецца, а верхняя сума Дарбу толькі памяншацца.

 для ніжняй сумы Дарбу (для верхняй сумы Дарбу зрабіць самастойны доказ).

Малюнкі

Заўвага. Калі f(x) , то даказаная ўласцівасць мае геаметрычны сэнс: сума плошчаў прамавугольнікаў з асновамі [x_k-1, х'] і [x^', х_k] не меней плошчы прамавугольнікаў з асновамі [x_k-1, х_k].

Лема 3. Ніжнія сумы Дарбу не болей верхніх сум Дарбу нават іншай разбіўкі.

Няхай s' i S' – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т',

s" i S" – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т",

s i S – ніжняя і верхняя сумы Дарбу разбіўкі Т.

Разбіўка Т аб’ядноўвае разбіўкі Т' і Т ".



Азначэнне 2. Ніжнім інтэгралам Дарбу называецца дакладная верхняя мяжа мноства ніжніх сум Дарбу {s} T – разбіўкі адрэзка [a,b] і абазначаецца I_{* =} sup{s}.

Верхнім інтэгралам Дарбу называецца дакладная ніжняя мяжа мноства верхніх сум Дарбу {S} T – разбіўкі адрэзка [a,b] і абазначаецца I* ₌ inf{S}.

Відавочна, што I_*  I*. Таму на падставе уласцівасці inf і sup мае месца няроўнасць s  I_*  I* S для любых ніжніх і верхніх сум Дарбу.

Лема 4. Для любых інтэгральных сум I(T,f, _k) адпаведнай Т - разбіўкі адрэзка [a,b] маюць месца няроўнасці

 I(T,f, _k) - I_*  S – s i  I*- I(T,f, _k)  S – s.



§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый

Нагадаем азначэнне інтэгравальнай функцыі.

Тэарэма 1. Для таго, каб функцыя f была інтэгравальнай на адрэзку [a,b] неабходна і дастаткова , каб  >   > , што як толькі  < , то мае месца няроўнасць S - s < . (1)



Тэарэма 2. Для таго, каб функцыя f была інтэгравальнай на адрэзку [a,b] неабходна і дастаткова , каб на гэтым адрэзку былі роўныя ніжні і верхні інтэгралы Дарбу: I_* = I*. (без доказа)