§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах

Няхай крывая АВ задана раўнаннем y = f(x), x  [a,b], f(x) непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя . Крывая АВ не мае пунктаў самаперасячэння.

Падзелім АВ пунктамі: A = M_o, M₁,…, M_k, M_k+1,…, M_n = B. Злучым іх хордамі. Атрымаем ламаную, якая мае перыметр р. Найбольшы з яе звеньяў абазначым .

Азначэнне 1. Калі існуе концавы ліміт l перыметра р упісанай ў крывую ламанай пры  0: , то ён называецца даўжынёй крывой АВ.

Крывую, даўжыня якой існуе, называюць выпрастальнай (спрямляемой).

Тэарэма 1. Калі функцыя f(x) непарыўная разам са сваёй вытворнай f(x) на адрэзку [a,b], то крывая АВ выпрастальная і яе даўжыня можа быць падлічана па формуле:

(1)

 Бохан і др. Гл.Х, §2.

Няхай крывая АВ задана параметрычна формуламі . (2)

Функцыі (t) і (t) непарыўныя разам са сваімі вытворнымі на адрэзку [,], (t)  0, функцыя (t) манатонная на адрэзку [,], таму яна мае адваротную функцыю t = v(x) манатонную і непарыўную на адрэзку [a,b], дзе a = (), b = (), мае непарыўную вытворную v’(x) = . Тады функцыя y = (t) = ( v(x)) = f(x) непарыўная як складаная ад непарыўных функцый на адрэзку [a,b] разам са свёю вытворнай f ’(x). Вядома, што для функцыі, заданай параметрычна (3); dx = d((t)) = ’(t)dt. Падставім роўнасць (3) у формулу (1)  (4)

Формула (4) – формула даўжыні дугі, якая задана параметрычна.

П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах

Няхай крывая АВ задана ў палярных каардынатах раўнаннем r = f()   [,]. Функцыя f() мае непарыўную вытворную f’() на адрэзку [,]. Пунктам А і В адпавядаюць пункты  і . Скарыстаем формулы пераходу

. Атрымалі параметрычнае заданне крывой АВ з параметрам . Знойдзем x_’ i y_’, падставім іх у формулу (4).

Формула (5) - формула даўжыні дугі ў палярных каардынатах.

Заўвага. Падынтэгральны выраз у формулах (1, 4, 5) называецца дыферэнцыялам дугі.

§14. Плошча паверхні абароту

Няхай на адрэзку [a,b] азначана непарыўная, дадатная, дыферэнцавальная функцыя y = f(x), графікам якой з’яўляецца крывая АВ. Пры абароце крывой АВ вакол восі Ох атрымаецца паверхня , якую называюць паверхняй абароту.

Зробім разбіўку адрэзка [a,b] пунктамі а = х_о< х₁ < …< х_n = b,

х_k = x_k - х_k-1,  = max { х_k }, k = 0,1,2,….

Адпаведна крывая АВ разабьёцца пунктамі M_k(x_k,f(x_k)). Злучым пункты хордамі і атрымаем ламаную. Пры абароце яе вакол восі Ох атрымае паверхню P_n, якая з’яўляецца аб’яднаннем паверхняў ссечаных конусаў і цыліндраў, паверхні якіх вылічваюцца па адной з формул: S_c.к. = (r₁ + r₂)l;

S_ц. = 2rl.

Азначэнне 1. Плошчай паверхні абароту будзем называць концавы ліміт плошчы абароту ламанай, калі : . (1)

Азначэнне 2. Калі існуе концавы ліміт (1), то паверхня называецца квадравальнай.

Тэарэма 1. Калі функцыя f(x) непарыўная разам са саей вытворнай на адрэзку [a,b], паверхня абароту графіка функцыі f(x) квадравальная, то плошчу паверхні абароту можна вылічыць па формуле:

або . (2)

 Бохан і др. Гл.Х, §4.

Вынік 1. Няхай функцыя f(x) задана параметрычна формуламі . (t), (t), ’(t) , ’(t) непарыўныя на адрэзку [,] функцыі, ’(t) 0, то (3)

Вынік 2. Няхай крывая АВ – графік функцыі f(x) задана ў палярных каардынатах раўнаннем r = f()   [,]. Функцыя f() мае непарыўную вытворную f’() на адрэзку [,]. Пунктам А і В адпавядаюць пункты  і . Скарыстаем формулы пераходу

. Атрымалі параметрычнае заданне крывой з параметрам . Тады . (4)

Прыклады.