- •Глава 2. Вызначаны інтэграл
- •§1. Раўнамерная непарыўнасць функцыі
- •Геаметрычгы сэнс раўнамернай непарыўнасці функцыі
- •§2. Паняцце вызначаннага інтэграла п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла
- •П2. Паняцце вызначанага інтэграла
- •§3. Сумы Дарбу і іх уласцівасці п1. Паняцце сум Дарбу
- •§4. Неабходныя і дастатковыя ўмовы інтэгравальнасці функцый. Класы інтэгравальных функцый
- •Класы інтэгравальных функцый
- •§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла
- •§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца
- •§7. Метады інтэгравання вызначаных інтэгралаў
- •§9. Квадравальныя фігуры п1. Плошча мнагавугольніка і яе ўласцівасці
- •П2. Паняцце квадравальнай фігуры
- •П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры
- •§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат
- •§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці
- •П2. Паняцце кубавальнага цела
- •П3. Крытэрыі кубавальнасці цела
- •§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра
- •П2. Аб'ём с-цела
- •§13. Даўжыня дугі крывой п1. Даўжыня дугі ў дэкартавых каардынатах
- •П2. Даўжыня дугі ў палярных каардынатах
- •§14. Плошча паверхні абароту
- •§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)
- •П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)
- •П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду
- •Прыклад.
§15. Неўласцівыя інтэгралы п1. Неўласцівыя інтэгралы на неабмежаваных прамежках (інтэгралы і роду)
Няхай функцыя f(х) азначаная і непарыўная на прамежку [a,+). Зафіксуем пункт b[a,+). Тады існуе інтэгра Рымана на адрэзку [a,b],
Азначэнне 1. Калі існуе канічны ліміт (1), то ён называецца неўласцівым інтэгралам І роду функцыі f(x) на прамежку [a,+) і абазначаецца (2):
. (3)
Калі ліміт (1) існуе, то неўласцівы інтэграл збягаецца, калі не існуе або роўны , то інтэграл (2) не існуе або разбежны.
Аналагічна азначаецца інтэграл на прамежках ( - ; b] i ( - ; + ):
= + .
Паколькі неўласцівы інтэграл азначаецца праз вызначаны інтэграл, то ён захоўвае ўсе ўласцівасці інтэграла Рымана.
Прыклады.
Заўвага 1. Няхай на прамежку [a,+) азначаная непарыўная неадмоўная функцыя f(х). Разгледзім фігуру, абмежаваную прамой х = а, воссю Ох і графікам функцыі f(х). Зафіксуем пункт b [a,+) . Вядома, што - плошча фігуры Авbа (4). Але S(P) = = .
Геаметрычны сэнс інтэграла (2): калі інтэграл (2) збежны, то фігура (4) квадравальная і яе плошча роўна значэнню інтэграла (2).
Прыклад.
п2. Прыкметы збежнасці неўласцівага інтэграла І роду
Тэарэма 1 (прыкмета параўнання). Няхай функцыі f i g непарыўныя на прамежку [a,+) і х[a,+) 0 f(x) g(x). Тады са збежнасці збежнасць , а з разбежнасці разбежнасць .
Прыклад.
Тэарэма 2. Калі збягаецца (А), то збягаецца інтэграл (В). Інтэграл (В) называецца абсалютна збежным.
Прыклад.
Тэарэма 3(частковая прыкмета параўнання). Калі функцыя f(x) 0 бясконца малая парадку > 0 па параўнанню з функцыяй 1/x, то збежны пры > 1 і разбежны пры 0 1.
Прыклад.
П3. Неўласцівыя інтэгралы ад неабмежаваных функцый (інтэгралы другога роду)
Няхай функцыя f азначана на прамежку (a,b], а на адрэзку [a+,b], дзе 0 < < b-a, функцыя f інтэгравальная. Пункт х = а будзем называць асаблівым пунктам (особым), калі функцыя f неабмежаваная на прамежку (a,b], а абмежаваная на любым адрэзку [a+,b].
Азначэнне 2. Калі існуе канечны ліміт (5), то ён называецца неўласцівым інтэгралам ІІ рода ад функцыі f(x) і абазначаецца:
(6). У гэтым выпадку інтэграл (6) збежны. Калі ліміт (5) не існуе або роўны , то інтэграл (6) разбежны.
Аналагічна ўводзіцца паняцце неўласцівага інтэграла для выпадкаў:
калі x = b – асаблівы пункт, то ;
калі х = с - асаблівы пункт, дзе с [a,b], то
= + .
П4. Прыкметы збежнасці неўласцівых інтэгралаў іі роду
Тэарэма 4 (прыкмета параўнання). Няхай функцыі f i g неабмежаваныя ў наваколлі пункта b і х[a,b) 0 f(x) g(x). Тады са збежнасці збежнасць , а з разбежнасці разбежнасць .
Прыклад.
Тэарэма 2. Няхай функцыя f(x) неабмежаваная ў наваколлі пункта b. Калі збягаецца (А), то збягаецца інтэграл (В). Інтэграл (В) называецца абсалютна збежным.
Прыклад.