П2. Паняцце кубавальнага цела

Няхай G – цела ў прасторы R³: GR³. Праз мноствы {P} i {Q} абазначым адпаведна мноствы мнагаграннікаў, якія змяшчаюцца ў G і якія змяшчаюць G: {P} G, {Q}  G, а праз V(P) і V(Q) – адпаведна аб’ёмы такіх мнагаграннікаў.

Паколькі кожны мнагаграннік P змяшчаецца ў Q, то P  Q і па ўласцівасці манатоннасці V(P)  V(Q) (1). Гэта значыць, што мноства {V(P)} абмежавана зверху аб’ёмам любога мнагагранніка Q, а мноства {V(Q)} абмежавана знізу аб’ёмам любога мнагагранніка Р.

Абазначым sup{V(P)} = V*(G) (2) , inf {V(Q)} = V_*(G) (3). Па уласцівасці sup і inf:

V(P)  V_*(G), V(Q)  V*(G)  V_*(G)  V^*(g).

Заўвага 1. Калі цела G не змяшчае ні воднага мнагагранніка, то будзем лічыць, што V*(G) = 0, калі няма мнагаграннікаў, якія змяшчаюць G, то

V_*(G) = 0.

Азначэнне 2. V_*(G) называецца нутранным аб’ёмам (нутраной мерай) цела G, а V^*(G) – вонкавым аб’ёмам (вонкавай мерай) цела G.

Азначэнне 3. Калі выконваецца роўнасць V_*(G) = V^*(G) = V(G) (4), то цела G называецца кубавальным, а лік V(G) – аб’ёмам цела G.

Азначэнне 4. Адлюстраванне (функцыя) V мноства кубавальных целаў у мноства сапраўдных лікаў: V : {G}  R, якое мае уласцівасці (1-5) называецца аб’ёмам на класе кубавальных целаў.

Прыклад.

П3. Крытэрыі кубавальнасці цела

Тэарэма 1 (у тэрмінах мнагаграннікаў). Для таго, каб цела G былo кубавальным і мела аб'ём V(G), неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці мнагаграннікаў (P_n) i (Q_n), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць цела G такія, што . (без доказа)

Тэарэма 2 (у тэрмінах кубавальных целаў). Для таго, каб цела G было кубавальным, неабходна і дастаткова каб існавалі дзве паслядоўнасці кубавальных целаў (P_n) i (Q_n), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць цела G такія, што . (без доказа)

§12. Вылічэне аб’ёмаў некаторых целаў п1. Аб'ём прамога цыліндра

Азначэнне 1. Прамым цыліндрам называецца цела, абмежаванае цыліндрычнай паверхняй, дзвюмя паралельнымі плоскасцямі; утваральная (образующая) паверхні перпендыкулярна гэтым плоскасцям, а самі плоскаці пры перасячэнні з паверхняй утвараюць некаторыя крывыя, якія называюцца кіроўнымі (направляющими). Фігуры, абмежаваныя гэтымі крывымі – асновы цыліндра.

Заўвага. Кіроўнымі могут быць розныя крывыя другога парадку.

Тэарэма 1. Прамы цыліндр – кубавальнае цела, а яго абўём вылічваецца па формуле: V(G) = S(P)H (1), дзе Р – квадравальная фігура, S(P) – плошча фігуры Р, Н – вышыня цыліндра. (без доказу)

П2. Аб'ём с-цела

Разгледзім цела G, якое заключана паміж плоскасцямі x = a, x = b, перпендыкулярнымі восі Ох, такое, што :

1) у сечывах гэтага цела плоскасцямі, якія праходзяць праз любыя пункты x  [a,b]  восі Ох, атрымліваюцца квадравальныя фігуры, плошчы якіх S(x);

2) S(x) непарыўная на [a,b] функцыя;

3) дзве праекцыі любых двух сечываю цела G умяшчаюцца адна ў адной.

Азначэнне 2. Цела, якое мае пералічаныя ўласцівасці будзем называць С – целам.

Прыклады.

Тэарэма 2. С – цела – кубавальнае цела і яго аб’ем можна вылічыць па формуле: . (2)



Заўвага 1. Формула (2) даёт магчымасць знайсці аб’ём цела праз плошчу папярэчнага сечыва.

Задача 1. Знайсці аб’ём піраміды з вышыней Н і асновай Р.

Задача 2. Знайсці формулу для вылічэння аб’ему цела абароту.

Задача 3. Знайсці аб’ём конуса.