Класы інтэгравальных функцый

У §2 была даказана тэарэма аб абмежаванасці інтэгравальных функцый і была заўважана, што інтэгралы ад неабмежаваных функцый не існуюць.

Апішам тыя функцыі, які будуць інтэгравальны на адрэзку [a,b] па Рыману.

Тэарэма 3. Непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.

Для доказа будзем карыстацца неабходнай і дастатковай умовай інтэгравальнасці, тэарэма Вайерштраса І і ІІ, паняцце раўнамернай непарыўнасці функцыі і тэарэмай Кантара.



Заўвага 1. Мноства ўсіх непарыўных на адрэзку [a,b] функцый абазначаецца C[a,b].

Паколькі кожная з непарыўных функцы інтэгравальная на адрэзку [a,b], то кажуць, што непарыўныя функцыі адносяцца да класу інтэгравальных функцый.

Заўвага 2. Можна даказаць, што функцыя, якая язначана на адрэзку [a,b] і якая мае на ім концавы пункт разрыву І роду (кускова-непарыўная функцыя) інтэгравальная на адрэзку [a,b].

Выснова. Кускова-непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку і таму адносяцца да класу тньэгравальных функцый..

Тэарэма 4. Манатонна на адрэзку [a,b] функцыя інтэгравальная на гэтым адрэзку.

 для нарастальнай функцыі.

Заўвага 4. Манатонныя на адрэзку [a,b] функцыі адносяцца да класу інтэгравальных функцый.

§5. Уласцівасці вызначанага інтэграла

У азначэнні вызначанага інтэграла лічылася, a < b. Будзем лічыць, што:

а) = - ; б) = 0.

1(адытыўнасць).  , калі функцыі f i g інтэгравальныя на адрэзку [a,b].

2 (аднароднасць). = .

3 (лінейнасць). = + +…+ .

4 (адытыўнасць на адрэзку). Калі f интэгравальная на адрэзку [a,b] функцыя, с  [a,b], то = + .

5 . Калі f iнтэгравальная на адрэзку [a,b] функцыя і x  [a,b] f(x)  0, то  0.

6. Калі f і g iнтэгравальныя на адрэзку [a,b] функцыі і x  [a,b]

f(x)  g(x) (f(x) < g(x) ), то  ( < ).

7. Калі f интэгравальная на адрэзку [a,b], то   .

8 (Тэарэма аб сярэднім). Калі функцыя f непарыўная на на адрэзку [a,b], то існуе пункт с  [a,b] такі, што = f(c)(b - a).

9 (абагульнённая тэарэма аб сярэднім). Калі f і g непарыўныя на адрэзку [a,b] функцыі і g не мяняе свой знак на гэтым адрэзку, то існуе пункт с  [a,b] такі, што = f(c) .

Доказ уласцівасцей зрабіць самастойна.

§6. Вызначаны інтэграл са зменнай верхняй мяжой. Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі. Формула Ньютана - Лейбніца

Няхай функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], г.зн. інтэгравальная на гэтым адрэзку і на кожным адрэзку [a,х]  [a,b]: а  х  b. Такім чынам існуе або , дзе адрэзку [a,х (акрамя х = а) – зменная велічыня.

Абазначым (х) = (1) і назавём гэты інтэграл інтэгралам са зменнай верхняй мяжой, а функцыю (х) – функцыяй верхняй мяжы, азначанай на адрэзку [a,b].

Тэарэма 1. Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то функцыя (1) дыферэнцавальная ў кожным пункце адрэзка [a,b], і пры гэтым

(х) = ( ) = f(x). (2)



Вынік 1. Усякая непарыўная на адрэзку [a,b] функцыя мае на ім першаісную. Адной з першаісных з’яўляецца функцыя (х) = .

Заўвага 1. Можна разглядзець і функцыю ніжняй мяжы:

(х) = =   (х) =  f(x).

Прыклад.

Заўвага 2. Геаметрычны сэнс інтэгралам са зменнай верхняй мяжой – плошча крывалінейнай трапецыі з асновай адрэзкам [a,х].

Асноўная формула інтэгральнага злічэння –

формула Ньютана – Лейбніца

Калі функцыя f непарыўная на адрэзку [a,b], то мае месца формула

= F(x)_a^b = F(b) – F(a) - формула Ньютана – Лейбніца.

Вывад формулы.