§2. Паняцце вызначаннага інтэграла п1. Задачы, якія прыводзяць да вызначанага інтэграла

Задача 1. Аб знаходжанні плошчы крывалінейнай трапецыі.

Азначэнне 1. Фігура, абмежаваная прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x)  x [a,b]), называецца крывалінейнай трапецыяй.

Няхай на адрэзку [a,b] задана непарыўная функцыя f: f(x)  x [a,b].

Выканаем Т – разбіўку адрэзка пунктамі а = х_о< х₁ < …< х_n = b; адрэзак [x_k-1, х_k] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т,

х_k = x_k - х_k-1 – даўжыня k – частковага адрэзку,  = max { х_k }, k  N . У кожным k – частковым адрэзку выбярэм адвольныя пункты _k  [x_k-1, х_k], вылічым значэнне функцыі ў кожным пункце _k і саставім здабытак f(_k) х_k - плошча прамавугольніка з вышынёю f(_k) і асновай х_k .

Сума f(₁) х₁ + f(₂) х₂ + … + f(_k) х_k + … +f(_n) х_n = = S_n лікава роўна плошчы прыступкавай фігуры, якая складаецца з прамавугольнікаў f(_k) х_k . Чым меней , тым бліжэй плошча прыступкавай фігуры набліжаецца да плошчы крывалінейнай трапецыі. Таму за плошчу крывалінейнай трапецыі прымем велічыню S:

S = . (1)

Самастойна падрыхтавацць рашэнне задач 2 і 3 па знаходжанню шляху па заданай хуткасці і работы.

П2. Паняцце вызначанага інтэграла

Няхай на адрэзку [a,b] задана непарыўная функцыя f: f(x)  x [a,b].

Выканаем Т – разбіўку адрэзка [a,b] пунктамі а = х_о< х₁ < …< х_n = b; адрэзак [x_k-1, х_k] – адрэзак [x_k-1, х_k] – k – частковы адрэзак разбіўкі Т,

х_k = x_k - х_k-1 – даўжыня k – частковага адрэзку,  = max { х_k }, k  N . У кожным k – частковым адрэзку выбярэм адвольныя пункты _k  [x_k-1, х_k].

Саставім суму I(T,f, _k) = . (2)

Cума (2) называецца інтэгральнай сумай функцыі f на адрэзку [a,b], якая адпавядае разіўцы Т і выбару пункта _k. Яе яшчэ называюць сумай Рымана.

Азначэнне 2. Лік І называецца лімітам інтэгральнай сумы I(T,f, _k) функцыі f на адрэзку [a,b] пры , калі  >   > , што як толькі  < , то мае месца няроўнасць І - I(T,f, _k)  < : (3)

= .

Азначэнне 3. Калі існуе концавы ліміт І інтэгральнай сумы, які не залежыць ад Т – разбіўцы і ад выбара пунктаў _k, то ён называецца вызначаным інтэгралам функцыі fна адрэзку [a,b] і абазначаецца сімвалам

: = . (4)

Геаметрычны сэнс: вызначаны інтэграл – плошча крывалінейнай трапецыі.

Заўвага. Калі існуе ліміт (4), то кажуць, што функцыя f інтэгравальная на адрэзку [a,b] ( па Рыману); a , b адпаведна ніжняя і верхняя межы інтэгравання, f(x) – падынтагральная функцыя, х – зменная інтэгравання.

Прыклад 1. Карыстаючысь азначэннем (3), вылічыць вызначаны інтэграл ад функцыі у = с – канстанты.

Прыклад 2. Карыстаючысь азначэннем (3), вылічыць вызначаны інтэграл .

Тэарэма 1 (неабходная ўмова інтэгравальнасці функцыі). Калі функцыя f інтэгравальная на адрэзку [a,b], то яна абмежаваная на гэтым адрэзку.



Вынік. Вызначаны інтэграл ад неабмежаванай функцыі не існуе.

Заўвага 1. Умова абмежаванасці на адрэзку [a,b] функцыі f не з’яўляецца дастатковай умовай яе інтэгравальнасці.

Прыклад. Функцыя Дзірыхле

з’яўляецца абмежаванай для x [a,b], але дакажам, што яна не з’яўляецца інтэгравальнай на [a,b].

Зробім Т – разбіўку адрэзк [a,b].

Няхай _k  Q, I(T,f, _k) = = 1 (b - a). Калі _k І, то

I(T,f, _k) = = 0.  не існуе. Такім чынам залежыць ад выбара пункта _k, што супярэчыць азначэнню (3), а з гэтага вынікае, што функцыя Дзірыхле не з’яўляецца інтэгравальнай на [a,b].