Лекция 10. Решение систем обычных дифференциальных уравнений (оду).

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. Переходные процессы в радиотехнических цепях, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция у(х) и ее первые n производных по аргументу х

(10.1)

Из теории ОДУ известно, что уравнение (10.1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка

(10.2)

где k = 1,..., n.

Уравнение (10.1) и эквивалентная ему система (10.2) имеют бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения.

В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения (10.1) в некоторой точке х₀ должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции у (х) и ее производных

y(х₀) = y₀; y^’(х₀) = y₁₀; … y^(n-1)( х₀) = У_n-1,0

Для системы ОДУ типа (10.2) начальные условия задаются в виде

y_k(х₀) = у_k0 (10.3)

где k = 1,..., n.

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале х  [х₀, х_k] то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала. Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничная задача, равен двум.

Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций у(х) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров λ_m, которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [х₀, х_k] необходимо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей полей волновых процессов и т. д.

К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции. Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.

Большинство методов решения ОДУ предназначено для решения задачи наиболее часто встречающейся на практике задачи Коши, алгоритмы и программы для которой рассматриваются в настоящей главе.

10.1. Метод Эйлера.

Для демонстрации основных идей, используемых для численного решения ОДУ, рассмотрим простейший метод Эйлера.

Предположим, что систему ОДУ (10.2) представлена в каноническом виде, в так называемой форме Коши, т.е. уравнения разрешены относительно производной.

При формулировке задачи Коши система (6.4) дополняется начальными условиями (6.3). Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного канонического уравнения, а затем полученные алгоритмы обобщим на систему n уравнений.

В этом уравнении заменим производную в левой части приближенным конечно-разностным решением:

Отсюда получим выражение:

(10.4)

Теперь приближенное решение в точке х₁ = х₀ + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (6.8) найти значение искомой функции в следующей точке х₂ = х₁ + h₁. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Последнее название связано с геометрической интерпретацией процесса (рис. 10.1); искомую функцию у(х) мы заменяем ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах x₀, x₁ …

Рисунок 10.1. Пояснение к работе метода Эйлера для решения ОДУ

На каждом шаге метода Эйлера решение у(х) определяется с погрешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорциональных h в степени выше первой.

Пример 10.1. Демонстрация метода Эйлера в программе MS Excel. В примере с помощью метода Эйлера рассчитывается решение уравнения y’ = x²; y(0)=0.

Создание решения и задание формул вычислительного метода

Полученное решение

Имеем y(6) = 75.64, точное решение в этой точке равняется 72.