1.3.3.Начисление процентов за дробное число лет (периодов)

В реальной жизни срок инвестирования совсем не обязательно должен быть кратным целому количеству лет, полугодий, месяцев и т.п. Срок может быть любым. При начислении процентов за нецелое (дробное) число лет можно использовать следующие основные схемы:

1. Схема сложного процента

, где (1.11)

w – целая часть периода;

f – дробная часть.

2. Смешанная схема, при которой на целое число периодов начисляется сложный процент, а на остаток – простой процент.

(1.12)

Чтобы определить, какая из схем выгоднее для вкладчика, нужно сравнить между собой множители и . Т.к. f < 1, всегда больше (см. также Рис. 1 .3). Следовательно, для вкладчика (заимодавца) смешанная схема всегда выгоднее.

На практике чаще всего приходится оперировать конкретными датами осуществления тех или иных финансовых операций. День выдачи ссуды и день ее погашения принято считать за один день. В остальном, формулы простого и сложного процента трансформируются следующим образом:

Простой процент: (1.13)

Сложный процент: , где (1.14)

t – продолжительность финансовой операции в днях;

T – количество дней в году.

Для целей осуществления финансовых расчетов далеко не всегда необходимо оперировать точным значением дней как в году так и в самой операции. Часто их задают приблизительно, исходя из условия, что в году 360 дней, в полугодии 180, в квартале 90, а в месяце 30. Такая схема называется метод «360/360». Значения t и T задаются приблизительно. Это схема обыкновенного процента с приближенным числом дней.

Если порядок сумм значителен, правомочно использование точной схемы, когда по календарю исчисляется точная продолжительность финансовой операции, а значение дней в году принимается равным 365 для не високосного года либо 366 для високосного (схема «365/360».

Иногда используется схема, в рамках действия которой число дней задается точно, а количество дней в году – приблизительно, из расчета Т=360. Это т.н. схема обыкновенного процента с точным числом дней «365/360».

Задача 11

Вклад в размере 1000 у.е. сделан 16 марта 2010г. на условиях до востребования. Ставка 5% годовых простых. 16 января 2011г. вкладчик решает снять всю сумму. Рассчитать полученные суммы для приблизительной схемы, точной схемы, а также схемы обыкновенного процента с точным числом дней.

Точное количество дней: 15+30+31+30+31+31+30+31+30+31+16=306

Приблизительное количество дней: 15+30*9+15=300

Схема «360/360»: FV= 1000(1+0.05*300/360)=1041,667

Схема «365/365»: FV= 1000(1+0.05*306/365)=1041,918

Схема «365/360»: FV= 1000(1+0.05*306/360)=1042,5

Если вклад равен 1 млрд., разница между схемами «365/360» и «360/360» составит 833 тыс. долл. Различия схем «365/360» и «365/365» обойдутся участникам такой операции в 582 тыс. долл. Сумма получаемая по схеме «365/365» превзойдет сумму по схеме «360/360» на 251 тыс. долл.

1.3.4.Общее понятие финансовой эквивалентности. Эквивалентные процентные ставки

Мы уже отмечали, что многообразие схем начисления процентов остро ставит задачу адекватного сопоставления. Эффективные ставки устраняют различия в вариантах, отличающихся частотой внутригодовой капитализации. Понятие финансовой эквивалентности в этом отношении шире и глубже. Строго говоря, эффективная ставка – разновидность финансово эквивалентной.

Финансово эквивалентными называются ставки, приводящие к одинаковым результатам. Не совпадать могут как периоды начисления, так и схемы начисления процентов, а также сроки инвестирования. Наравне с понятием эквивалентных ставок можно оперировать категориями эквивалентных денежных потоков, приводящих в результате экономической оценки к равным значениям критерия их эффективности.

Для исчисления эквивалентной ставки в каждом случае нужно приравнять результаты по двум альтернативным вариантам вложения средств.

Задача 12

Предлагается разместить капитал на два года под простую процентную ставку 15%. Определить финансово эквивалентную сложную процентную ставку, начисляемую один раз в месяц.

Для схемы простых процентов FV=PV(1+2*0.15)=PV1.3.

Для схемы сложных процентов FV=PV(1+r/12)²⁴

(1+r/12)²⁴=1.3

1+r/12=1.3^1/24=1.011

r/12=1.1%; r=13.2%

Задача 13

Предлагается разместить капитал на три года под сложную процентную ставку 16%, начисляемую раз в квартал. Определить финансово эквивалентную простую процентную ставку.

Для схемы сложных процентов FV=PV(1+016/4)¹²=1,04¹²=1,60

Для схемы простых процентов FV=PV(1+3r)

1+3r = 1.60; r = 20%

1.4.Перечень вопросов и ситуаций

1. Предприятие является:

а) объектом инвестиций;

б) субъектом инвестиций;

в) и тем, и другим.

2. В чем состоит основное отличие между прямыми и портфельными инвестициями?

3. Чем обусловлена необходимость оценки денег во времени при рассмотрении той или иной финансовой операции?

4. Могут ли совпадать простая и учетная процентные ставки?

5. В чем различия между схемами начисления простого и сложного процентов?

6. При начислении сложных процентов увеличение количества начислений номинального процента приведет к тому, что сумма, полученная к концу периода:

а) уменьшится;

б) увеличится;

в) останется без изменений.

7. Как изменится ставка дисконта в случае увеличения инфляции?

8. Какая из сумм будет больше при наращении капитала по простой и сложной процентным ставкам одинакового номинала на срок более двух лет?

а) сумма, полученная в результате начисления простой ставки;

б) сумма, полученная в результате начисления сложной ставки;

в) определенно сказать нельзя.

9. Чем обусловлена необходимость исчисления эффективных процентных ставок?

10. Может ли эффективная ставка совпадать с номинальной?

11. Почему использование в контрактах эффективной процентной ставки всегда выгодно должнику, а использование номинальной ставки выгодно кредитору?

12. Можно ли считать простую годовую ставку финансово эквивалентной сложной процентной ставке, начисляемой один раз в год (при условии их начисления за один год)?

13. Может ли использование номинальной процентной ставки по отношению к одинаковым суммам и неизменности периода инвестирования привести к различным результатам?

14. При начислении процентов за дробное число лет какая из схем при равенстве процентных ставок даст наибольший результат?

а) схема простого процента;

б) схема сложного процента;

в) смешанная схема.

15. В какой из перечисленных ситуаций эффективная ставка совпадет со ставкой финансовой эквивалентности?

а) при сроке инвестирования, равном 1 году;

б) если проценты на капитал начисляются один раз в год;

в) если проценты на капитал начисляются более 1 раза в год;

г) эти ставки не могут совпадать.

16. Как необходимо изменить формулу коэффициента наращения в случае увеличения количества внутригодовых начислений?

а) разделить на количество начислений процентную ставку;

б)умножить на количество начислений число периодов инвестирования;

в) произвести оба этих действия;

17. В чем заключаются различия между точной и приближенной схемой начисления процентов при известных календарных датах начала и окончания финансовой операции?

1.5.Задачи для самостоятельного решения

Задача 14

Долг в 8000 погашается тремя выплатами по 2000 в конце каждого квартала и заключительного платежа в конце года. Найти величину заключительного платежа, если простая ставка по кредиту составила 20% годовых?

Задача 15

Вам предложили купить облигацию номиналом в 100 за 80 .Срок погашения облигации наступает через три года. Стоимость денег 8% годовых сложных при ежегодном начислении. Стоит ли соглашаться?

Задача 16

На Вашем счете в банке имеется некоторая крупная сумма. Банк платит 12,5% годовых. Вам предлагают войти всем капиталом в организацию совместного предприятия, обещая удвоение капитала через 5 лет. Принимать ли предложение?

Задача 17

На какой срок необходимо поместить денежную сумму под ставку 8% годовых сложных с ежеквартальным начислением, чтобы она увеличилась в полтора раза?

Задача 18

Банк предлагает 15% годовых сложных. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через 3 года иметь на счете 50 тыс. руб.?

Задача 19

Господин N взял в господина M в долг 8 000. Простая процентная ставка за пользование кредитом, как договорились кредитор и заемщик, составляет 2% в месяц. Сколько должен уплатить N за пользование кредитом в течение 2,5 лет, не считая возврата самого кредита?

Задача 20

Вам предлагают поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 16% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 24% годовых. Выяснить, как выгоднее поступить.

Задача 21

На Ваш р/с через год поступит 500, а через два года еще 3000. Определить размер кредита, который может быть Вами взят сегодня под 20% сложных на условиях его погашения через три года накопленной суммой (ежегодное начисление).

Задача 22

В рекламе банка «А» говорится, что сумма, помещенная сегодня на срочный депозит, удвоится за 5 лет. Банк «Б» обещает своим клиентам 14% годовых сложных по вкладам на тот же период. В каком из банков ежегодно платят больший процент на вложенные средства? (ежегодное начисление)

Задача 23

Сегодня Вы кладете 4 тысячи на свой расчетный счет, а через год еще 6 тысяч. Определите, какая сумма будет на р/с через два года после последнего вложения (8% годовых сложных, ежегодное начисление).

Задача 24

На Ваш счет поступило 200,через два года еще 600. Сколько будет на счете через три года после первого поступления (12% годовых сложных, ежегодное начисление)?

Задача 25

На р/с внесли 3000, через год еще 5000, еще через год сняли 4000. Сколько необходимо внести еще через год для того чтобы в конце 4-го года на р/с было бы 10000 (10% годовых сложных, ежегодное начисление).

Задача 26

Вкладчик открыл счет и вложил 7000 под 8% годовых сложных (ежемесячное начисление). Через год вложил еще 3000, а еще через два снял 5000.Сколько необходимо вложить через год после последней операции, чтобы через 5 лет после открытия счета получить 15000?

Задача 27

Предлагается разместить капитал на два года под простую процентную ставку 15%. Определить финансово эквивалентную сложную процентную ставку, начисляемую один раз в год.

Задача 28

Предлагается разместить капитал на два года под сложную процентную ставку 12%, начисляемую ежеквартально. Определить финансово эквивалентную простую процентную ставку.

Задача 29

Через 4 года Ваш сын будет поступать в университет на коммерческой основе. Плата за весь срок обучения составит 5600, если внести ее сразу в момент поступления. Вы располагаете в данный момент суммой в 4000. Под какую минимальную сложную процентную ставку нужно положить деньги в банк, чтобы накопить требуемую сумму?

Задача 30*

Через 5 лет Ваш сын будет поступать в университет на коммерческой основе. В случае оплаты авансом за весь срок обучения можно получить существенную скидку, и сумма требуемого платежа составит 7,5 тыс. долл. Также Вы планируете через 3 года сменить свой автомобиль, потратив на это 15 тыс. долл. Каким должен быть сегодняшний взнос в банк, чтобы накопить требуемые суммы? Банк предлагает 12% годовых сложных.

Задача 31

Определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки 14% годовых сложных при ежеквартальном начислении процентов.

Задача 32

Номинальная годовая ставка процента равна 24%. Определить эффективную ставку процента при ежемесячном начислении по истечении одного года.

Задача 33

Эквивалентная ли годовая ставка 16% сложных с ежеквартальным начислением эффективной ставке 16,99%?

Задача 34

Какие условия предоставления кредита и почему более выгодны банку: а) 28% годовых, начисление ежеквартальное; б) 30% годовых, начисление полугодовое?

Задача 35

Какие условия предоставления кредита и почему более выгодны клиенту банка: а) 24% годовых, начисление ежемесячное; б) 26% годовых, начисление полугодовое?

Задача 36

Платежное обязательство уплатить через 4 мес. 20 000 руб. с процентами, начисляемыми по ставке 9% годовых сложных ежемесячно, было учтено за 1 месяц до срока погашения по простой учетной ставке 13% годовых. Определить сумму, получаемую при учете.

Задача 37*

Для погашения долга величиной 4000 со сроком погашения 1 июля заемщик выписал своему кредитору 2 векселя: один на сумму 2400 со сроком погашения 1 сентября и второй вексель неизвестного номинала со сроком погашения 1 октября (того же года). Найти номинальную величину второго векселя при простой учетной ставке 8% годовых.

Задача 38

Срок инвестирования составляет 2,4 года. Имеются альтернативы размещения средств по схемам сложных процентов и по смешанной схеме. Ставка 10% годовых. Рассчитайте различия предложенных схем, если величина инвестиции 1 млн. долл.

Задача 39

Первого апреля Вы сделали взнос в банк в сумме 1000 долл. Какая сумма будет на счете к концу года, если банк начисляет 16% годовых один раз в год? Рассчитайте получаемые суммы для трех различных схем начисления: «360/360», «365/365», «365/360».

Задача 40*

1 мая 2008г. осуществлен банковский вклад на следующих условиях:

- ставка в случае сохранности вклада в течение года составляет 15% годовых;

- по окончании года проценты могут быть сняты по желанию клиента. В противном случае % начисляются на накопленную сумму;

- в случае досрочного погашения ставка за последний неполный год составляет 3%.

В период до 1 февраля 2011г. проценты не снимались. Определите, что выгоднее: аннулировать вклад или взять эквивалентную сумму в долг до 1 мая на условиях 24% годовых сложных с ежемесячным начислением?

Задача 41*

Условия те же, что в задаче №40. Вклад в размере 1,5 млн. был осуществлен 16 июня 2006г. под 14% годовых. В первые два года проценты вкладчиком снимались. В дальнейшем сумма копилась до 1 декабря 2010г., когда возникла потребность в накопленных денежных средствах.

Чтобы сохранить вклад до 16 июня 2011г. необходимо взять кредит на оставшееся время на условиях ежемесячного начисления сложного процента. На какую максимальную ставку можно соглашаться?

Задача 42

16 января предоставлена ссуда в размере 3000 долл. с погашением через 9 месяцев под 25% годовых. Рассчитайте сумму к погашению для трех способов начисления процентов: а) для точного процента и точного числа дней; б) для обыкновенного процента и приблизительного числа дней; в) для обыкновенного процента и точного числа дней. Год не високосный.

Задача 43

Банк предоставил ссуду в размере 5000 долл. на 39 месяцев под 20% годовых на условиях полугодового начисления процентов. Рассчитайте возвращаемую сумму при различных схемах начисления процентов: а) схема сложных процентов; б) смешанная схема.

Задача 44

Вкладчик разместил на счете 5000 руб. Какую сумму он сможет получить через 3 года и 120 дней, если процентная ставка равна 8%? Рассмотрите различные варианты начисления процентов.

Задача 45

Предприятие продало товар, получив вексель номинальной стоимостью 100 тыс. долл., сроком 75 дней и процентной ставкой 15% годовых (проценты не входят в номинальную стоимость). Через 60 дней с момента получения векселя предприятие решило учесть его в банке, предложившем учетную ставку 18%. Рассчитайте суммы, получаемые банком и предприятием.

Задача 46

Вы имеете возможность получить кредит либо на условиях 12% годовых с квартальным начислением процентов, либо на условиях 12,4% годовых с годовым начислением. Какой вариант предпочтительнее, если выплата процента будет сделана единовременно вместе с погашением долга (шаровый кредит)?

Задача 47

Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 5 млн. руб. со сроком погашения 28.09.2010. Вексель предъявлен 13.09.2010. Банк согласился учесть вексель с дисконтом 75% годовых. Какую сумму получит предъявитель?

Задача 48

Банк предоставил ссуду в размере 10 млн. руб. на 30 мес. под 30% годовых ежегодных. Рассчитайте возвращаемую сумму для схем а) простого процента; б) сложного процента; в) смешанной схемы.

Задача 49

Компания выпустила нулевокупонные облигации со сроком погашения через 7 лет. Номинал облигации – 5000 руб.; в момент эмиссии облигации продавались по цене 2211 руб. Найдите эффективную и номинальную процентные ставки, если на рынке доступны облигации аналогичного рейтинга с полугодовым начислением процентов и номинальной ставкой, равной 10%. Стоит ли покупать облигации?