Часть 4.Типы кредитов и связанные с ними расчеты

4.1.Общая классификация кредитов

С точки зрения способа возврата заемных денежных средств, традиционно выделяются кредиты шаровый и ипотечный.

Шаровый кредит – простейшая модель, предполагающая однократное погашение всей суммы долга с процентами в обозначенный период времени. На практике такая схема применяется при небольших сроках кредитования либо при относительно небольших величинах займа, хотя, возможны исключения.

Ипотечный кредит выдается единожды и впоследствии погашается равными частями на протяжении оговоренного периода времени.

Схематично различия между этими моделями показаны на Рис. 16.

Рис. 16 Модели возврата кредитных ресурсов

Разновидностью кредита, возвращаемого равными частями, служит потребительский кредит. Он характеризуется тем, что вся сумма интереса (процентная сумма) присоединяется к основному долгу в момент выдачи кредита и погашение производится равными платежами в течение оговоренного срока. Размер одной выплаты определяют таким образом:

, где (4.38)

- величина разового погасительного платежа;

- сумма основного долга;

- интерес или начисленные на основной долг проценты;

- число погасительных платежей.

Стоимость потребительского кредита, выданного на условиях простого процента, как правило, значительно меньше стоимости денег на рынке. К причинам такого положения можно отнести следующие:

• неликвидность актива, продаваемого в кредит;

• прямая зависимость доходности торговых организаций от скорости оборачиваемости оборотных средств.

В практике кредитования очень распространена ситуация начисления процентов не на фиксированную сумму долга, а на непогашенную его часть. Такая модель получила название самоамортизирующегося кредита.

4.2.Самоамортизирующийся кредит*

Самоамортизирующимся называется кредит, в рамках схемы действия которого проценты начисляются на остаток долга.

Такая схема очень распространена на практике, поэтому рассмотрим ее подробно.

Для таких кредитов принципиальное значение имеют два условия:

1. Равны ли взносы на погашение долга

2. Есть ли у должника право досрочного погашения.

Если взносы не равны и право досрочного погашения есть, расчеты по такому кредиту могут осуществляться только итерационно (по каждому периоду в отдельности). В случае равенства взносов (погашение равными частями через равные промежутки времени) к этой схеме можно применить упрощающий расчеты математический аппарат.

Обозначим за К величину кредита, T – срок его действия, а – величину единичного взноса на погашение долга.

Тогда схема платежей может быть формализована следующим образом:

Табл. 4.6

Логика вычислений по самоамортизирующимся кредитам

Момент времени t	Размер долга
0	K
1	K(1+r)-a
2	[K(1+r)-a](1+r)-a=K(1+r)2-a(2+r)
3	[K(1+r)2-a(2+r)](1+r)-a=K(1+r)3-a(3+3r+r2)
4	[K(1+r)3-a(3+3r+r2)](1+r)-a=K(1+r)4-a(4+6r+4r2+r3)
5	[K(1+r)4-a(4+6r+4r2+r3)](1+r)-a=K(1+r)5-a(5+10r+10r2+5r3+r4)
…	и т.д.

Для целей точных расчетов можно использовать приведенные формулы либо (что проще) выполнить расчет на компьютере по периодам погашения. Для целей приблизительного расчета можно упростить формулы, пренебрегая слагаемыми при r², r³ и высших степеней, считая их пренебрежимо малыми.

Числовой ряд при r (0, 1, 3, 6, 10 и т.д.) может быть свернут по формуле . Тогда для момента t:

(4.39)

В момент T кредит полностью амортизируется, т.е. долг становится равным нулю.

(4.40)

а – размер взноса при известных величине и сроке кредитования.

Формулы 4.2 и 4.3 являются приблизительными и не могут применяться для больших значений T.

Относительная величина взноса не может быть меньше r, т.к. в этом случае долг будет копиться, и амортизация не произойдет. Если , сумма долга остается неизменной.

Технику приблизительных расчетов можно также использовать как установочную для дальнейшей корректировки на компьютере. Абсолютно точно величина взноса при больших значениях T может быть определена только методом подбора параметра в таблицах Excel.

Задача 120*

Вы заняли на 3 года 15 000 под 8% годовых сложных, начисляемых по схеме сложных процентов, на непогашенный остаток (самоамортизирующийся кредит). Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определить размер годового взноса, общую сумму долга, а также общую сумму процентов.

По упрощенной формуле получим:

Воспользовавшись формулой точнее (т.к. T не велико), получим:

Общая сумма долга при точном исчислении, 17496 в случае применения упрощенной схемы. Сумма процентов составит, соответственно, 2461,5 д.е. (2496 при округленных вычислениях).

Для небольших значений T различия точных и приблизительных величин сводятся к представленным в Табл. 4 .7. Для длительных сроков кредитования использование упрощенных формул не правомочно, т.к. разница получается весьма существенной. Убедиться в этом наглядно можно на примере задачи №121.

Табл. 4.7

Формулы для расчетов по самоамортизирующимся кредитам при небольших сроках кредитования

T	Точное значение а	Приблизительное значение, полученное по формуле 4.3
T=2
T=3
T=4
T=5
T=6

Задача 121*

Стоимость квартиры составляет 5 млн. руб. Вам предлагается приобрести ее на условиях ипотечного самоамортизирующегося кредита с первым взносом 10% стоимости. Ставка по ипотечному кредиту – 8% годовых, начисляемых ежемесячно на остаток долга. Долг предполагается погашать равными ежемесячными платежами в течение 30 лет. Определите размер ежемесячного взноса.

Очевидно, что количество периодов в этой задаче равно 360, и разрешить ее можно только с применением компьютера.

По упрощенной формуле получим:

Точное значение величины взноса составляет 33019,4. При ежемесячном взносе в 62229 кредит амортизируется за 99 мес., а не за 360.

Решите эту задачу средствами MS Excel, руководствуясь теорией, а также приведенными ответами для сравнения.

Денежный поток, генерируемый самоамортизирующимся кредитом, обладает одним интересным свойством. Взносы на протяжении выплаты кредита одинаковы по величине, но не одинаковы по своему содержанию. В первые периоды в большей степени отдается процент за кредит, в конечные периоды в большей степени отдается долг (Рис. 17). Математически это можно проиллюстрировать следующим образом. Разделим величину постоянного взноса на две части:

, где

- выплата процентов в момент t;

- выплата основного долга (тела кредита).

Табл. 4.8

Формулы для расчетов по самоамортизирующимся кредитам при небольших сроках кредитования

t	Сумма процентов за пользование кредитом	Взнос на погашение основного долга	Остаток долга
0	-	-	K
1
2
3
t

Рис. 17 Структура выплат самоамортизирующегося кредита

Задача 122*

По данным задачи №120 определить, какой процент будет уплачен в третьем году.

Надо разделить взносы на выплату основного долга и проценты.

Проценты за 1-й год составили 15000*0,08=1200

Выплата долга в первом году (5820,5-1200)=4620,5

За второй год проценты составили (15000-4620,5)*0,08=830,36

Выплата долга (5820,5-830,36)=4990,14

За третий год проценты составят (15000-(4620,5+4990,14))*0,08=431,15

Выплата долга (5820,5-431,15)=5389,36

Год	Долг	Процент
1-й	4620,50	1200,00
2-й	4990,14	830,36
3-й	5389,36	431,15
	15000,00	2461,51

Задача 123*

По условиям задачи №121 определите общую сумму долга ,а также сумму процентов по ипотеке.

Взнос составил 33019,4. Число периодов – 360. Следовательно, за 30 лет придется выплатить банку 33019,4*360=11 886 984 руб.

Сумма процентов составляет 11 886 984 – 4 500 000 = 7 386 984, что больше стоимости квартиры почти в 1,5 раза. Т.е., располагая подобной суммой на текущий момент, можно было бы купить более 2-х таких квартир.

4.3.Перечень вопросов и ситуаций

1. Выгодно ли для покупателя, когда ставка потребительского кредита равна стоимости денег на рынке?

2. Почему банки заинтересованы в том, чтобы должник погашал сумму долга частями в течение данного ему срока, а не в конце его?

3. Из чего складывается величина издержек кредитора в случае досрочного погашения кредита?

4. Сформулируйте условия, при которых досрочное погашение кредита должником может быть выгодно кредитору.

5. В каких ситуациях правомочно использование приблизительных упрощенных формул, позволяющих рассчитать параметры кредитов с начислением процентов на остаток долга?

6. Как соотносятся величина выплаты и процентная ставка по самоамортизирующимся кредитам?

4.4.Задачи для самостоятельного решения

Задача 124*

Вы взяли самоамортизирующийся кредит в размере 9000 на 3 года при условии ежегодного начисления процентов. В самом начале второго года принято решение полностью выплатить кредит. Какая сумма должна быть перечислена кредитору? Какую сумму составили бы проценты за кредит, если бы досрочное погашение не состоялось? (8% годовых сложных, ежегодное начисление).

Задача 125*

Вы заняли на 5 лет 12 000 под 8% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток долга. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определить, какая часть основной суммы кредита будет погашена за первые 2 года.

Задача 126*

Вы заняли на 4 года 10 000 дол. под 14%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите величину годового платежа и общий объем обязательств по погашению кредита.

Задача 127*

Вы заняли на 5 лет 12 000 дол. под 12%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите, какая часть основной суммы кредита будет погашена за первый год?

Задача 128*

Вы заняли на 6 лет 15 000 дол. под 10%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите: а) какой процент будет уплачен в 3-м году? б) какая часть кредита останется непогашенной по истечении первых трех лет?

Задача 129*

Вы заняли на 5 лет 10 000 долл. под 8%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите общую сумму процентов к выплате.

Задача 130*

Через три года долг, взятый на условиях задачи №129, решено вернуть досрочно. Кредитор ставит условие: возместить треть недополученных им процентов. Какую сумму необходимо будет выплатить? Правомочно ли требование кредитора о возмещение части процентов? Деньги можно безрисково инвестировать под 6% годовых сложных, начисляемых ежеквартально.

Задача 131*

Предприниматель планирует приобрести здание за 200 тыс. долл. Возможны два варианта оплаты:

Вариант 1: 25% стоимости должно быть оплачено немедленно, а оставшаяся часть будет погашена равными полугодовыми платежами в течение 10 лет с начислением 12% годовых на непогашенную часть кредита.

Вариант 2: 28% стоимости должно быть оплачено немедленно, а оставшаяся часть будет погашена равными годовыми платежами в течение 10 лет с начислением 12% годовых на непогашенную часть кредита.

Вопросы:

1. Какая из схем более предпочтительна и почему?

2. Чему равна величина полугодового платежа по варианту 1, если в договоре предусмотрено использование номинальной процентной ставки?

3. Чему равна величина полугодового платежа по варианту 1, если в договоре предусмотрено использование эффективной процентной ставки?

Задача 132*

Предприниматель планирует приобрести здание за 100 тыс. долл. Возможно два варианта оплаты:

В первом случае 20% стоимости должно быть оплачено немедленно, а оставшаяся часть будет погашена равными квартальными платежами в течение 5 лет с начислением 12% годовых на непогашенную часть кредита (ставка эффективная).

Во втором случае условия те же, за исключением того, что немедленно должно быть оплачено 25% стоимости здания, а ставка номинальная.

Какая из схем более предпочтительна и почему?