2.2.1.Процесс наращения. Функция будущей стоимости единицы

Математическую интерпретацию процесса наращения мы уже рассмотрели в Табл. 1 .1 и Табл. 1 .2. Наращение по схеме простых процентов осуществляется посредством добавления к накопленной сумме слагаемого PVr, т.е. для каждого произвольного момента времени t наращенная сумма определяется по формуле

(2.15)

– мультиплицирующий множитель при действии схемы простых процентов.

Наращение по схеме сложных процентов происходит быстрее, посредством умножения на (1+r) в каждый период времени:

(2.16)

– мультиплицирующий множитель для схемы сложных процентов или коэффициент наращения. Множитель показывает, во сколько раз увеличится настоящая сумма PV за t периодов при ставке r. Это первая стандартная функция сложного процента, также называемая будущая стоимость единицы. Если первоначальное вложение равно 1, через t периодов при ставке r наращенная сумма составит . В целях облегчения расчетов, значения мультиплицирующего множителя табулированы и могут при решении задач браться из таблиц в готовом виде. В первом приложении к настоящему пособию приводится такая финансовая таблица, содержащая значения будущей стоимости единицы для различных r и t.

Графически процесс наращения по сложной процентной ставке иллюстрируется диаграммой на Рис. 7.

Рис. 7 Наращение по сложной процентной ставке

Задача 50

Рассчитайте будущую стоимость 1000 долларов для следующих ситуаций:

а) 5 лет, 8% годовых, ежегодное начисление процентов;

б) 5 лет, 8% годовых, полугодовое начисление процентов;

в) 5 лет, 8% годовых, ежеквартальное начисление процентов;

г) 5 лет, 8% годовых, ежемесячное начисление процентов.

а) в)

б) г)

2.2.2.Процесс дисконтирования. Функция настоящей стоимости единицы

Процесс дисконтирования обратен процессу наращения. Примером дисконтирования по схеме простых процентов является уже известный нам учет векселей. В общем случае, математика дисконтирования по простой процентной ставке приведена в Табл. 2 .4.

Табл. 2.4

Вывод формулы дисконтирующего множителя для схемы простых процентов

Момент времени t	Сумма, накопленная к моменту t (FV)
T	PV = FV
T-1	PV = FV - FVr = FV(1-r)
T-2	PV = FV - FVr - FVr = FV(1-2r)
T-3	PV = FV - FVr - FVr - FVr = FV(1-3r)
…
0	PV = FV(1-Tr)

Т – время до момента поступления суммы FV.

– дисконтирующий множитель в условиях действия схемы простых процентов.

В случае действия схемы сложных процентов, по аналогии с процессом наращения, нам придется не умножать, а делить FV на (1+r).

Табл. 2.5

Вывод формулы дисконтирующего множителя для схемы сложных процентов

Момент времени t	Сумма, накопленная к моменту t (FV)
0	PV = FV
1	FV=PV(1+r)
2	FV=PV(1+r)2
3	FV=PV(1+r)3
…
T	FV=PV(1+r)T

– дисконтирующий множитель для схемы сложных процентов или коэффициент дисконтирования. Множитель показывает, во сколько раз уменьшится ценность суммы FV за t периодов при ставке r. Это вторая стандартная функция сложного процента, также называемая настоящая стоимость единицы. Если сумма, ожидаемая к поступлению через t периодов при ставке r, равна 1, дисконтированная, приведенная ее ценность составит . Во втором приложении к пособию приводятся табулированные значения этой стандартной функции сложного процента.

Графически процесс дисконтирования по сложной процентной ставке иллюстрируется диаграммой на Рис. 8.

Рис. 8 Дисконтирование по сложной процентной ставке

Задача 51

У Вас есть возможность выбора между получением 5000 долл. через год или 12000 долл. через 6 лет. Каков Ваш выбор, если ставка доходности составляет: а) 12%; б) 20%?

При ставке 12%

Следует выбрать второй вариант.

При ставке 20%

Следует выбрать первый вариант.