Часть 3.Оценка аннуитетов

3.1.Определение аннуитета. Практическая интерпретация аннуитетных денежных потоков

Термин «аннуитет» происходит от латинского слова anno – год. Это особая разновидность денежного потока, возникающая в случае выполнения двух условий: все платежи в таком потоке равны по величине и равномерно распределены во времени (осуществляются через равные временные интервалы).

Если названные условия не выполняются, поток называется неравномерным или не регулярным. Аннуитеты часто называются равномерными или регулярными потоками.

В реальной жизни ситуация аннуитета возникает достаточно часто. Это и рентные платежи за пользование землей, и выплаты кредитов равными долями ежегодно или ежемесячно, и получение фиксированных доходов на некоторые разновидности ценных бумаг (привилегированные акции, купонные облигации).

Если аннуитет ограничен по времени (известно точное число выплат), он называется срочным. Если количество интервалов бесконечно или очень велико (40, 50 и более лет), такой аннуитет называется бессрочным (в англоязычной литературе к нему применяется специальный термин – perpetuity). Примерами бессрочных потоков являются долгосрочная аренда земельных участков, пожизненные выплаты содержания или доходов на капитал, бессрочные облигации, рента за пользование съемным жильем без права его выкупа.

В общем случае, можно выделить 4 типа аннуитетных потоков с позиции их экономической оценки (Рис. 11):

Рис. 11 Практическая интерпретация аннуитетных денежных потоков

Очевидно, что в первых двух ситуациях необходимо получить обобщенную оценку аннуитета на текущий момент (привести поток к настоящему). Сравнение этой оценки с величиной кредита или инвестиции позволит понять, целесообразна ли финансовая операция. В случаях 3 и 4 нужна будущая ценность аннуитета, приведение его к точке T. Такую оценку можно осуществить способами, рассмотренными ранее для нерегулярных cash flow. Но специфика аннуитетов – их равномерность – серьезно упрощает эту задачу.

3.2.Расчет будущей стоимости равномерных денежных потоков. Функция будущей стоимости единичного аннуитета

При оценке аннуитетов традиционно используются следующие аббревиатуры и обозначения:

PMT (англ. payment) – величина платежа, поток которых оценивается;

FVA (Future Value of an Annuity) – будущая стоимость аннуитета¹.

Общая логика задачи приведения схематично представлена на Рис. 12 и Рис. 13 для потоков постнумерандо и пренумерандо соответственно.

Рис. 12 Расчет будущей стоимости аннуитета постнумерандо

Искомый критерий будущей стоимости равномерного потока представляет собой сумму формирующих его взносов, каждый из которых приведен к моменту T соответствующим ему коэффициентом наращения.

Для потока постнумерандо (Рис. 12):

(3.21)

Особенность аннуитетного потока, позволяющая упростить расчеты по его оценке, собственно, и связана с тем, что ряд в скобках представляет собой геометрическую прогрессию, сумма n членов которой может быть получена по известной формуле:

, где (3.22)

- первый член ряда;

- последний член ряда;

q – знаменатель геометрической прогрессии.

=1; ;

(3.23)

(3.24)

- будущая стоимость единичного аннуитета, третья стандартная табулированная функция сложного процента, позволяющая для любых значений r и t определить ценность наращенного потока, умножив величину взноса (PMT) на значение функции. Физический смысл FVA₁ заключается в следующем: функция показывает, чему равна будущая стоимость потока из t единичных платежей при ставке r. В англоязычной литературе эту функцию называют CVFA (Compound Value Factor for an Annuity). С применением компьютера ее достаточно легко рассчитать. Как альтернатива, можно воспользоваться финансовыми таблицами. Третье приложение к настоящему пособию содержит таблицу значений FVA₁ для некоторых значений периодов и процентных ставок.

Отметим, что значения стандартных функций выведены для потока постнумерандо.

Задача 60

Ваш ежемесячный вклад составляет 200. Достаточно ли этого, чтобы через два года собрать 5000 (8% годовых сложных, ежемесячное начисление, взносы в конце каждого месяца)?

; FVA = 25.933*200 = 5186.6 (достаточно)

Задача 61

Ваш ежемесячный вклад составляет 300 ед. Хватит ли этой суммы для того, чтобы к концу второго года собрать 8300? (11% годовых сложных, ежемесячное начисление, взносы в конце каждого месяца)

(не достаточно)

Приведение потоков пренумерандо осуществляется аналогично. Процесс наращения в этом случае несколько отличается и соответствует схеме на Рис. 13.

Рис. 13 Расчет будущей стоимости аннуитета пренумерандо

(3.25)

Задача 62

Если в задаче №60 взносы будут осуществляться в начале каждого месяца, то сможет ли вкладчик собрать к концу года сумму в 5500?

Задача 63

Солидная страховая компания предлагает желающим заключить договор, согласно которому можно накопить значительную сумму своему ребенку. Суть договора в следующем. В первые 3 года после рождения ребенка вы платите компании по 1000 долл. ежегодно, в следующие 2 – по 1500 долл. (схема постнумерандо). В дальнейшем деньги лежат на специальном счете до совершеннолетия вашего ребенка (18 лет), когда вы можете получить 18000 долл. Стоит ли участвовать в этом необычном инвестиционном проекте, если приемлемая норма прибыли равна 8%? Решите эту же задачу, если по истечении 5 лет с момента заключения договора процентная ставка будет понижена до 6%.

Момент приведения – конец пятого года. К этой точке сводятся два аннуитета, а далее полученная сумма наращивается в течение 13 лет (по ставке 8% и по ставке 6%). Результат расчетов сравниваем с 18000.

Приводим первый аннуитет.

(значение на конец третьего года дополнительно приводится к концу 5-го мультиплицирующим множителем , т.к. эти деньги пролежат на счету еще 2 года).

Приводим второй аннуитет.

При ставке 8% к совершеннолетию малыша получится:

(участвовать не стоит, т.к. альтернативы дадут больше)

При ставке 6% к совершеннолетию получится:

(участвовать стоит, в банках накопится меньшая сумма)