1.3.2.Схема начисления сложного процента. Внутригодовое начисление процентов. Схема непрерывного начисления процентов. Понятие эффективной ставки

Сложный процент (англ. compound interest) – схема начисления, при которой капитализация происходит на накопленную сумму с учетом процентов за прошлые периоды. По аналогии с разделом 1.3.1, выведем расчетную формулу для этого случая (Табл. 1 .2).

Табл. 1.2

Капитализация при начислении сложного процента

Момент времени t	Сумма, накопленная к моменту t (FV)
0	FV=PV
1	FV=PV+PVr= PV(1+r)
2	FV= PV(1+r)+ PV(1+r)r= PV(1+r) (1+r)= PV(1+r)2
3	FV= PV(1+r)2+ PV(1+r)2r= PV(1+r)2(1+r)= PV(1+r)3
…
T	FV=PV(1+r)T

Функция сложного процента степенная, ее вид, а также взаимозависимость со схемой простого процента представлены на Рис. 1 .3.

Из рисунка видно, что при сроке 1 год (а точнее 1 период начисления) схемы простого и сложного процентов равноценны [FV= PV(1+r)]. При сроках инвестирования менее периода начисления процента (t < 1) вкладчику выгоднее схема простого процента. При значениях t более 1 периода сложный процент дает большую накопленную сумму, нежели простой.

Рис. 1.3 Схемы начисления простого и сложного процента

Задача 5

В конце 2011 года произведен депозитный вклад в размере 4 тысяч. Определить какая сумма будет на депозите в конце 2020 года при ежегодном начислении процентов по ставке 8% годовых сложных. Правомочно ли обещание банка о том, что Ваша сумма удвоится?

Период вклада: 9 лет

FV=4(1+0.08)⁹=8 (обещание правомочно)

Задача 6

Фирма хочет вложить свободные денежные средства в размере 60 000 на три года. Имеется два варианта вложений: а) предоставление кредита с ежегодным начислением 8% сложных; б) предоставление ссуды по ставке 9% (простых). Какой вариант выгоднее для фирмы?

Первый вариант: FV=60000(1+0.08)³=75582.72

Второй вариант: FV=60000(1+3*0.09)=76200

Выгоднее 2-й вариант, т.к. получаемая сумма будет больше.

Задача 7

На какой срок необходимо поместить 1000 долл. под ставку 17% годовых сложных, чтобы получить 3000 долл.?

1000(1+0,17)^t = 3000

1.17^t = 3; t = log_1.173 = 7 лет

В реальной жизни проценты могут начисляться с частотой, отличной от 1 раза в год. Наиболее распространены схемы полугодового, ежеквартального, ежемесячного начисления. Если m – количество начислений в году, необходимо преобразовать выведенные нами формулы простого и сложного процента, а именно уменьшить в m раз процентную ставку и увеличить в m раз число периодов.

Схема простого процента никак не реагирует на внутригодовые капитализации:

С применением схемы сложного процента результат начнет меняться в зависимости от частоты начисления:

(1.8)

Убедиться в этом можно на примере следующей задачи.

Задача 8

Рассчитайте суммы, накопленные за 1 год на первоначальное вложение в размере 1000 долл. при следующих схемах начисления 12% годовых сложных: а) ежегодное; б) полугодовое; в) ежеквартальное; г) ежемесячное; д) ежедневное начисление. Проанализируйте зависимость накопленной суммы от числа внутригодовых капитализаций.

Вариант начисления	m	Формула для расчета
ежегодное	1
полугодовое	2
ежеквартальное	4
ежемесячное	12
ежедневное	365

Из таблицы видно, что с увеличением m накопленная сумма растет. Объясняется это эффектом «процента на процент», т.к. в случае применения схемы сложного процента капитализация происходит на накопленную сумму.

При более глубоком анализе полученных данных можно заметить, что темп прироста накопленной суммы снижается, т.е. каждое последующее увеличение m дает результат меньший, нежели предшествующее. Существует предел, превысить который множитель наращивания не может – это сила роста. Математически ее можно определить по формуле, представленной далее:

(1.9)

Если m=, начисление процентов происходит не дискретно (через заданный временной интервал), а непрерывно. Ступенчатый процесс капитализации преобразуется в сглаженную функцию, а сама схема часто называется схемой непрерывного начисления процентов¹.

В рассмотренной нами задаче PV=1000; r=12%; t=1.

– значение накопленной суммы в случае применения схемы непрерывного начисления процентов, абсолютный максимум, который может быть получен от внутригодового начисления.

Для возможности корректного сопоставления проектов с различными периодами внутригодового начисления используется показатель т.н. эффективной ставки, которая представляет собой годовую ставку, начисляемую один раз в год и приводящую к тому же результату, что и номинальная при начислении более 1 раза в год.

Рассчитать эффективную ставку можно, воспользовавшись формулой 1.8.

, где (1.10)

r – номинальная ставка;

m – количество внутригодовых капитализаций.

Т.е. для варианта ежегодного начисления номинальная и эффективная ставки совпадут (m=1). А дальше они начнут разниться. Понять сущность эффективной ставки можно на примере следующей задачи, основанной на уже произведенных ранее вычислениях.

Задача 9

По данным задачи №8, рассчитайте эффективные ставки для рассмотренных схем начисления процентов.

Вариант начисления	m	Формула для расчета
ежегодное	1
полугодовое	2
ежеквартальное	4
ежемесячное	12
ежедневное	365
непрерывное	

Задача 10

Вы хотите купить в кредит дом, за который нужно уплатить 40 тыс. долл. Доступны два варианта оплаты:

Вариант 1: 15% стоимости дома оплачивается немедленно; остальная сумма погашается ежеквартальными платежами в течение 10 лет; предусматривается номинальная годовая процентная ставка в размере 12%, начисление ежеквартальное.

Вариант 2: 15% стоимости дома оплачивается немедленно; остальная сумма погашается ежеквартальными платежами в течение 10 лет; предусматривается эффективная годовая процентная ставка в размере 12%, начисление ежеквартальное.

Ответьте на следующие вопросы:

1. Не делая вычислений, обоснуйте, какой вариант оплаты более предпочтителен для вас.

2. Изменится ли ваше решение, если в варианте 2 эффективная ставка будет равна 13%?

Выгоднее 2-й вариант. Номинальной ставке 12% при ежеквартальном начислении будет соответствовать эффективная ставка большего значения. Следовательно, номинальная ставка для 2-го варианта, по которой нужно производить расчет, будет меньше 12% (кредит будет дешевле для нас).

Чтобы ответить на 3-й вопрос, нужно посмотреть на значение номинальной ставки при i_эф=13% и сравнить его с 12% в первом варианте.

; ;

i_эф=12% r=11.495% i_эф=13% r=12.41%

Значит, если i_эф=13%, наше решение изменится, и выгоднее окажется 1-й вариант.