Поверхности равной энергии

E( )=const или E( )=const

Используется для описания зонной структуры кристаллов наряду с законом дисперсии.

E( )=const− поверхность второго порядка(трехосный эллипсоид)

пусть экстремум E лежит в точке

E( )=E( )+( )

Запишем уравнение E( )=const в канонической форме:

=1

a, b, c − полуоси эллипсоида

a= ; b= ; c=

Если − имеем эллипсоид вращения.

Если − то поверхность E( )=const− сфера (тензор вырождается в скалярную величину).

Физические свойства кристалла в этом случае изотропные, а в предыдущем случае анизотропные.

Динамика электронов в периодич. поле кристалла

Для описания динамики электрона используют классическую функцию Гамильтона, заменив импульс на квазиимпульс:

= E( )+V( )

E( )− кинетическая энергия

V( )− потенциальная энергия

Скорость электрона V( ) в разрешенном − состоянии энергетической зоны

Используем уравнение Гамильтона для скорости:

т.е. ( )− есть градиент энергии V( )−V( )=

значение ( ) совпадает с групповой скоростью волнового пакета, отчего движение квантовой частицы с энергией и импульсом

=

−равна квантовомеханической средней скорости

Особенности движения

V( ) определяется градиентом E( ), поэтому вектор скорости ( ) направлен по нормали к изоэнергетической поверхности E( ) = const

Если −тензор, то ( ) и не совпадают по направлению.

Вектор ( ) и совпадают по направлению, если - скаляр, т.е. для свободного электрона.

Особенности движения электрона у краев зон

У краев энергетических зон энергия электрона принимает экстремальные значения (E min и E max).

Поэтому , т.е. электрону соответствует не бегущая волна (волна Блоха), а стоячая, при значениях происходит отражение электронных волн от границ зоны Бриллюэна.

При приближении электрона к границе электронная волна тормозится решеткой и отражается. Стоячая электронная волна не участвует в переносе энергии.

Скорость является нечетной функцией волнового вектора = , поэтому средняя скорость по всей зоне будет равна нулю.

= (интегрируем в симм. пределах)

Т.о. при движении электронов, при отсутствии внешнего электрического поля не будет переноса зарядов, т.е. не будет возникать электрический ток.

Ускорение электрона в кристалле

можно определить, как изменятся скорость во времени:

Предположим, эффективная масса это , найдем -компоненту ускорения;

Энергия от t зависит через зависимость от t, поэтому:

Вывод: при тензорной эффективной массе электрон под действием в направлении получает ускорение в направлении . Направления ускорения и силы будут совпадать, если направлена вдоль главных осей тензора обратной эффективной массы.

Если эффективная масса- скаляр, то ускорение будет получать электрон всегда по направлению силы:

это соотношение для тензора справедливо для значений массы, равной

Особенности динамики электрона в кристалле связаны с одновременным действием внешней силы и кристаллического поля на электрон, обладающего волновыми свойствами.