Метод измерений и расчетные формулы
В работе определяется плотность материала призмы и прямого цилиндра.
Плотность
однородных тел
определяется формулой:
,
(1)
где m - масса тела, V - объем тела.
Объем прямой правильной шестиугольной призмы:
,
(2)
где d -диаметр окружности, описанной вокруг основания призмы, h - высота призмы.
Объем прямого кругового цилиндра:
,
(3)
где d - диаметр основания цилиндра, h - высота цилиндра.
В итоге, плотность материалов призмы и прямого цилиндра определяется соотношениями:
,
(4)
.
(5)
Измерения высоты и диаметров проводятся штангенциркулем и микрометром.
Порядок выполнения работы а) Подготовительная часть
1. Получить шестиугольную призму, прямой круговой цилиндр и измерительные инструменты.
2. Ознакомиться с конструкциями и принципами действия штангенциркуля, микрометра, весов.
3. Проверить положение нуля на измерительных инструментах.
4. Зафиксировать приборные погрешности штангенциркуля, микрометра, весов.
Б) Измерение плотности материала призмы
5.
Измерить 6 раз высоту призмы
вдоль различных ребер и занести результаты
измерений таблицу 1.
Таблица 1
-
№
hi, мм
1
2
3
4
5
6
Проверить, не содержится ли в результатах измерений грубых погрешностей (промахов); при наличии промахов исключить их из дальнейшей обработки.
6. Рассчитать результат измерения высоты призмы как среднее значение отдельных наблюдений:
,
(6)
где n - число наблюдений.
7. Рассчитать оценку среднеквадратического отклонения наблюдений высоты призмы по формуле:
.
(7)
8. Рассчитать случайную погрешность результата измерений по формуле:
,
(8)
где
-
коэффициент Стьюдента для доверительной
вероятности
для n
наблюдений.
9. Определить систематическую погрешность измерений высоты. Считать её равной приборной погрешности и рассчитать по формуле:
,
(9)
где дел – цена деления измерительного инструмента.
10. Найти результирующую погрешность измерений высоты по формуле:
.
(10)
11. Измерить 6 раз диаметр окружности, описанной вокруг основания прямой правильной шестиугольной призмы, и занести результаты измерений в таблицу 2.
Таблица 2
-
№
di, мм
1
2
3
4
5
6
Для
измеренных значений
провести вычисления, аналогично
предыдущему - по пунктам 6 - 10.
12. Измерить 6 раз массу призмы и занести результаты измерений в таблицу 3. Провести вычисления в соответствии с пунктами 6 - 10.
Таблица 3
-
№
mi, мм
1
2
3
4
5
6
13. Используя найденные средние значения высоты, диаметра и массы п, рассчитать среднее значение плотности материала призмы по формуле (4).
14. Рассчитать абсолютную результирующую погрешность измерения плотности призмы как погрешность косвенного измерения . Для этого использовать формулу:
,
(11)
где
- результирующие погрешности измерений
высоты, диаметра описанной окружности
и массы призмы, соответственно.
Формула (11) получена на основании расчетного соотношения (4). А, именно: если прологарифмировать (4), а затем продифференцировать полученное соотношение и заменить дифференциалы на конечные разности, то, в итоге:
/ = m/m - 2d/d - h/h. (12)
Соотношение (12) выражает относительную погрешность значения плотности через относительные погрешности значения массы, диаметра и высоты. Так как знак слагаемых в правой части равенства (12) может быть и положительным и отрицательным, то в наименее благоприятном случае все значения относительных погрешностей в правой части равенства должны суммироваться:
/ = m/m + 2d/d + h/h. (13)
Однако, наиболее вероятен случай, когда знаки некоторых слагаемых противоположны и они частично компенсируют друг друга. Поэтому, в теории погрешностей установлена рекомендация: вместо суммирования модулей погрешностей находить корень квадратный из суммы их квадратов.
Таким образом, вместо формулы (13), для вычисления результирующей погрешности измерения плотности призмы следует использовать формулу (11).
Подобный подход к получению расчетной формулы для результирующей погрешности измерения плотности цилиндра базируется на формуле (5), но он приводит к формуле, математически идентичной формуле (11).
15. Представить окончательный результат измерений в виде:
,
кг/м3.
(13)