Описание установки и метода измерения момента инерции

Схема маятника Обербека показана на рис. 2. Основная часть маятника - четыре крестообразно расположенные спицы, концы которых закреплены во втулке, вращающейся вокруг горизонтальной оси. На спицах помещены четыре цилиндра одинаковой массы. Они могут закрепляться на различных расстояниях от оси вращения втулки. Со втулкой жестко связаны два шкива для

Рис. 2

наматывания гибкой нити. Радиусы канавок шкивов R₁ и R₂. К свободному концу нити привязан груз (или грузы).

В исходном положении нить должна быть намотана по канавке одного из шкивов, а груз должен находиться в верхнем положении. При разблокировании исходного положения груз начинает опускаться с ускорением а. Соответственно, с угловым ускорением ε будет вращаться система из спиц и цилиндров на них.

Ускорения а и ε зависят от: массы груза, радиуса канавки шкива и от положений цилиндров на спицах (эти положения будут влиять на значение момента инерции вращающейся системы). Значения ускорений могут быть вычислены через значения h и t, где h – расстояние, которое проходит груз от начала движения, t – соответствующее время.

Формулу для вычисления момента инерции маятника Обербека можно получить, используя систему двух уравнений: уравнения второго закона динамики для поступательного движения груза массой m и основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела:

.

Здесь:

а - ускорение поступательного движения груза;

Т - сила натяжения нити;

R - радиус шкива;

ε - угловое ускорение вращательного движения.

Из этой системы уравнений можно выразить J:

(15)

Угловое ускорение можно выразить через h и t, используя соотношения:

и a =  R.

Тогда: , .

Если заменить радиус шкива R на его диаметр D, то:

. (16)

Все величины, входящие в формулу (16), могут быть измерены в эксперименте.

Расстояние h, которое проходит опускающийся груз, определяется с помощью делений, нанесенных на кронштейне установки. Оно задается как расстояние между двумя фотодатчиками, фиксирующими моменты прохождения нижним торцом опускающегося грузам верхней и нижней точек расстояния h. Время прохождения грузом этого расстояния фиксируется цифровым миллисекундомером.

В лабораторной работе задаются три положения цилиндров на спицах маятника, чему соответствует три его различных момента инерции.

Для правильной работы установки необходимо симметрично располагать грузы на спицах, чтобы их общий центр масс совпадал с осью вращения. Тогда система будет находиться в состоянии безразличного равновесия. Вторым условием получения правильного результата измерения является расположение опускающегося груза в верхней точке: нижняя грань груза должна быть на уровне верхнего фотоэлемента, но не закрыть его.

Момент инерции J маятника представляет собой сумму моментов инерции шкивов, моментов инерции спиц и моментов инерции цилиндров на спицах. Основной вклад в момент инерции вносят спицы и цилиндры на них. Поэтому приближенно можно считать, что:

,

где: J - момент инерции маятника в соответствии с формулой (16);

J_г – суммарный момент инерции цилиндров на спицах;

J_с – суммарный момент инерции спиц.

Так как моменты инерции цилиндров и спиц можно подсчитать теоретически, результаты эксперимента можно сравнить с результатами расчета.

Момент инерции одной спицы определяется соотношением (14):

J’_c = (1/3)m_cL²,

Где: m_c – масса спицы, L – длина спицы.

Момент инерции четырех спиц равен, соответственно:

J_c = (4/3)m_c L². (14)

Момент инерции одного цилиндра приблизительно может быть рассчитан как момент инерции материальной точки в соответствии с (11):

J’_ц = m_цL_i ²,

где: m_ц - масса цилиндра, L_i – одно из заданных расстояний центра масс цилиндра от оси вращения.

Момент инерции четырех грузов равен, соответственно:

J_ц = 4m_цL_i². (15)

В итоге, общий момент инерции маятника может быть рассчитан по формуле:

J = (4/3)m_c L²+ 4m_ц L_i². (16)

Измерения моментов инерции должны быть проведены в трех вариантах комплектации маятника:

1. без цилиндров;

2. с 4-мя цилиндрами, максимально приближенными к оси вращения;

3. с 4-мя грузами, установленными на концах спиц.