- •1. Основные термины и определения
- •2. Правила округления значений погрешности и результата измерений
- •3. Минимизация систематических составляющих погрешностей измерений
- •4. Расчет погрешности прямого однократного измерения
- •Пример 1. Обработка результата однократного измерения
- •5. Обработка результатов прямых многократных наблюдений
- •Коэффициент Стьюдента в зависимости от количества наблюдений n и от значения доверительной вероятности
- •Пример 2. Обработка результатов прямых многократных наблюдений
- •5. Вычисление погрешности косвенных измерений
- •Метод измерений и расчетные формулы
- •Порядок выполнения работы а) Подготовительная часть
- •Б) Измерение плотности материала призмы
- •В) Измерение плотности материала прямого цилиндра
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № I - 2 измерение ускорения свободного падения с использованием различных маятников
- •Введение
- •Описание установки и методики измерений
- •Задача 1. Определение ускорения силы тяжести с помощью модели математического маятника
- •Задача 2. Определение ускорения силы тяжести с помощью физического маятника
- •Задача 3. Определение ускорения силы тяжести с помощью оборотного маятника
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № I - 3 изучение законов вращательного движения
- •Введение
- •Задача 1. Изучение кинематики вращательного движения
- •Описание блока разгона – торможения
- •Методики измерения углового ускорения на стадии разгона
- •Методика измерения угловой скорости на стадии равномерного вращения
- •Порядок выполнения работы а. Измерение углового ускорения в режиме разгона
- •Б. Измерение угловой скорости вращения диска в режим равномерного вращения
- •В. Измерение углового ускорения в режиме торможения
- •Обработка результатов измерений
- •Задача 2. Определение момента инерции диска методом вращения
- •Описание лабораторной установки и методики измерений
- •Порядок выполнения работы и обработки результатов измерений
- •Контрольные вопросы.
- •Литература
- •Лабораторная работа № I – 4 измерение моментов инерции маятника обербека
- •Введение
- •Описание установки и метода измерения момента инерции
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № I - 5 измерение скорости полета пули с помощью баллистического маятника
- •Введение
- •Описание установки и метода измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № I - 6 измерение ускорения свободного падения с помощью прибора атвуда
- •Введение
- •Описание прибора Атвуда
- •Измерение ускорения свободного падения
- •Порядок выполнения работы
- •Измерение ускорения свободного падения
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Описание прибора и метода измерения момента инерции
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № I - 9 измерение коэффициента поверхностного натяжения
- •Введение
- •Методика измерения коэффициента поверхностного натяжения
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № I - 10 измерение среднеквадратической скорости движения молекул
- •Введение
- •Измерительная установка и методика измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
Пример 2. Обработка результатов прямых многократных наблюдений
На вольтметре класса точности к/н =1,0/0,5 с отсчетом трех десятичных знаков (например, на цифровом вольтметре с пределами измерений 100, 10 и 1 В) получены следующие значения измеряемого напряжения:
х1 =0,342 В; х2 = 0,340 В; х3 =0,346 В; х1 =0,340 В. Порядок обработки должен быть следующим.
1. Вычисляют среднее арифметическое значение четырех наблюдений по формуле (1) и принимают его за результат измерения:
2. Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения результата серии наблюдений по формуле (3):
3. Вычисляют значение абсолютной случайной погрешности. Для этого задают значение доверительной вероятности, обычно, = 0,95.
Согласно таблице 3, значению = 0,95 при (n – 1) = 3 соответствует t0,95 = 3,18. Тогда, в соответствии с формулой (4):
4. Вычисляют приборную погрешность ( при = 0,95) по формуле (7):
5. Согласно формуле (8) вычисляют суммарную абсолютную погрешность результата измерений, исходя из того, что Δхпр = 3,35·10-3 В, следовательно Δхсист = 3,35·10-3 В.
6. Окончательный результат записывают в следующем виде:
при = 0,95 х=(3425)10-3 В.
Относительное значение погрешности равно:
5. Вычисление погрешности косвенных измерений
Чтобы рассчитать погрешность результата косвенного измерения необходимо знать: 1) формулу, по которой рассчитывается этот результат - на основании совокупности прямых измерений; 2) значения погрешностей результатов прямых измерений.
Типовая расчетная формула имеет вид:
Y = A∙B / (C∙D). (10)
Если эту формулу прологарифмировать, а затем продифференцировать и заменить дифференциалы конечными разностями Δ, то в результате:
ΔY / Y = ΔA / A + ΔB / B – ΔC / C – ΔD / D/.
Величины типа ΔХ можно трактовать как абсолютные погрешности, а величины типа ΔХ / Х как относительные погрешности (в долях).
Так как знак слагаемых погрешностей может быть любым, то в неблагоприятном случае все они должны суммироваться. Однако, наиболее
вероятен вариант, когда знаки некоторых слагаемых противоположны и эти слагаемые частично компенсируют друг друга. Поэтому, в теории погрешностей установлена рекомендация: вместо суммирования модулей погрешностей находить корень квадратный из суммы их квадратов. Таким образом, структурная формула для вычисления абсолютной погрешности результата косвенного измерения, соответствующего формуле (10), имеет вид:
ΔY = Y (ΔA2 + ΔB2 + ΔC2 + ΔD2)1/2 ,
где ΔY, ΔA, ΔB, ΔC, ΔD - абсолютные погрешности измерений соответствующих величин.
Литература
1. ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений: Основные положения.
Лабораторная работа № I - 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
Цель работы: освоение основных правил обработки результатов измерений и вычисления погрешностей измерений; эти навыки студенты получают при измерениях плотности двух объектов – цилиндра и шестигранной призмы.
Приборы и принадлежности: штангенциркуль, микрометр, весы прямой круговой цилиндр, шестигранная призма.
Введение
Количественную информацию о физических законах и о физических свойствах веществ можно получить в результате измерений - прямых или косвенных.
Прямое измерение – это сопоставление изучаемой физической величины (длины, массы, плотности и т.д.) с однотипной с ней величиной, принятой за единицу. Косвенное измерение – совокупный результат нескольких прямых измерений, полученный с использованием физически обоснованной расчетной формулы.
Результатом измерений является численное значение физической величины.
Это значение всегда обладает некоторой неопределенностью. Так, в результате повторных единичных измерений (они называются наблюдениями) одним и тем же измерительным средством некоторой физической величины А может быть получен ряд несколько отличных значений А1, А2, …Аn. Их среднее значение , в общем случае, не будет совпадать с истинным значением величины Ао. В результате другой серии наблюдений, особенно, с заменой измерительного средства, будет получено среднее значение , отличное от .
Для количественной оценки указанной неопределенности (оценки неточности) результата измерения вводится понятие погрешность.
Так называют разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины. Поскольку истинное значение измеряемой величины не известно, задача экспериментатора состоит в оценке значения погрешности. Эта оценка может быть произведена приближенно и, кроме того, она неизбежно носит вероятностный характер.
Определение: оценка погрешности (далее погрешность) – это численный интервал, который с заданной вероятностью включает в себя отклонение результата измерения физической величины от ее истинного (не известного) значения.
Погрешность может быть выражена или в единицах измеренной величины – это абсолютная погрешность или в относительных единицах ( в долях или процентах измеренного значения) – это относительная погрешность.
В общем случае погрешность результата измерения имеет две составляющие систематическую и случайную.
Систематическая составляющая погрешность определяется:
а) погрешностями средств измерений; б) погрешностями метода измерений. Её характерным свойством является неизменность значения при повторяющихся однотипных условиях.
Случайная составляющая погрешности базируется на оценке рассеяния значений многократных наблюдений около среднего значения. Значения результатов наблюдения отличаются от среднего значения как по знаку, так и по абсолютному значению. Обычно полагают, что это рассеяние подчинено нормальному закону распределения – распределению Гаусса.
Поскольку сами значения оценок погрешности вычисляется приближенно, эти значения следует указывать одной значащей цифрой, проводя округление в сторону увеличения; в случае если это значение равно 1 или 2, допускается оставлять две значащие цифры. Соответственно, результат измерения следует округлить так, чтобы его последняя цифра совпадала по десятичному разряду с разрядом погрешности (если погрешность выражена двузначным числом, то с разрядом первой цифры этого числа).