Контрольные вопросы.

1. Что такое момент инерции тела, от чего зависит его значение?

2. Сравнить основные характеристики поступательного и вращательного движений.

3. Чему равны моменты инерции сплошного диска, кольца, тонкого обруча?

4. Вывести закон сохранения момента импульса, привести примеры.

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики: Учебник в 3-х томах. Т.1: Механика. Молекулярная физика. М., - Наука, 1989. - 352 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие для вузов. 6-е изд. стер. – М., Высшая школа,1999. – 542 с.

Лабораторная работа № I – 4 измерение моментов инерции маятника обербека

____________________________________________________________________

Цель работы: изучение зависимости моментов инерции твердых тел

от распределения их масс в пространстве.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, штангенциркуль.

Введение

Вращательное движение твердого тела вокруг какой-то оси – это такое движение, при котором все его точки описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных оси вращения с центрами, лежащими на этой оси.

Вращательное движение относительно оси имеет одну степень свободы, положение тела определяется углом φ между некоторой неподвижной в пространстве плоскостью N, проходящей через ось вращения, и плоскостью Р, жестко связанной с телом. (рис.1)

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Связь между линейными и угловыми характеристикам определяется выражениями:

(1)

(2)

где:

- векторы линейной скорости и ускорения;

- векторы угловой скорости и углового ускорения;

- радиус-вектор точки А вращающегося тела (рис. 1).

Основные динамические характеристики вращательного движения твердого тела - это момент импульса тела и кинетическая энергия.

Момент импульса вращающегося тела равен:

(3)

где - момент инерции тела относительно оси z;

- угловая скорость вращения.

N

 P  a V

r А

Рис. 1.

Кинетическая энергия вращающегося тела равна:

. (4)

Из формулы (3) при её дифференцировании по времени следует:

(5)

где - вращающий момент силы;

- угловое ускорение тела;

= . (6)

Формулу (6) можно получить следующим образом.

Известно, что момент импульса материальной точки массой m относительно точки, вокруг которой она вращается, равен:

(7)

где:

- радиус вектор, проведенный из точки, вокруг которой вращается материальная точка, до этой точки.

- импульс материальной точки.

Из (7) при его дифференцировании по времени следует:

. (8)

Первое слагаемое в (8) равно нулю, поэтому:

, где - линейное ускорение.

Следовательно, произведение равно силе . Отсюда:

.

Векторное произведение называется моментом силы.

Из (5) и (6) следует, что:

. (9)

(Векторы и направлены параллельно оси вращения)

Уравнение (9) выражает основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Его можно сопоставить с выражением для силы из второго закона Ньютона

(10)

Из сопоставления (9) и (10) следует, что при вращательном движении аналогом силы является момент силы , аналогом массы является момент инерции J, вместо линейного ускорения a фигурирует угловое ускорение .

Масса тела – мера инертности тел при поступательном движении, а момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

По определению момент инерции материальной точки массой m относительно какой-либо оси вращения равен:

(11)

где r - расстояние точки от оси вращения z.

Момент инерции тела конечных размеров можно найти, если разбить это тело на небольшие элементы, эквивалентные материальным точкам и просуммировать их моменты инерции:

(12)

где - масса i-го элемента твердого тела;

- расстояние i-го элемента от оси вращения.

Момент инерции тела правильной геометрической формы (диска, цилиндра, шара, стержня ) может быть рассчитан посредством интегрирования по объему тела.

Например, момент инерции диска массой m и радиусом r относительно оси вращения z, совпадающей с осью симметрии, равен:

(13)

Момент инерции тонкого стержня длиной l относительно оси вращения z, проходящей через торец стержня перпендикулярно оси стержня равен

J_z = (1/3) ml². (14)

Таким образом, момент инерции тела зависит: от положения оси вращения, массы и от распределения массы в пространстве.

Один из экспериментальных методов определения моментов инерции твердых тел базируется на использовании основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела (9).