§ 2. Производные тригонометрических функций
1. Если у = , то = .
Доказано выше.
2. Если у = , то = − .
Доказывается аналогично.
3. Если у = , то = .
○ Так как
=
,
то
=
=
=
=
=
,
т.е.
= = . ●
4.
Если у
=
,
то
=
.
Доказывается аналогично.
§ 3. Производная логарифмической функции
Если
у
=
(0 < a
≠ 1), то
= = .
○ Имеем
Δу
=
−
=
=
.
Таким образом, при Δх → 0
=
=
·
,
или
=
.
Тогда
=
=
=
,
т.е.
= = = . ●
Следствие. Если у = , то
= = .
§ 4. Производная от сложной функции
Теорема.
Если функция и
= φ(х)
имеет в некоторой точке х
производную
=
,
а функция у
= F(u)
имеет при соответствующем значении и
производную
=
,
то сложная функция у
= F(φ(х))
в указанной точке х
также имеет производную, которая равна
= · ,
или
= · ,
т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента по х.
○ При определенном значении х будем иметь
и(х) = φ(х), у(и) = F(u);
при значении х + Δх
и(х + Δх) = φ(х + Δх),
у(и + Δи) = F(и + Δи),
т.е.
Δи = φ(х + Δх) − φ(х),
Δу = F(и + Δи) − F(u).
Таким образом, приращение Δх соответствует приращению Δи, которому соответствует приращение Δу, причем при Δх → 0 будет Δи → 0 и Δу → 0.
По условию
=
.
Это можно записать в виде
=
+
(Δи),
где (Δи) – бесконечно малая функция при Δи → 0. Отсюда получаем
Δу = Δи + (Δи)Δи.
Разделим последнее равенство на Δх:
=
+
(Δи)
.
Переходя к пределу Δх → 0, получим
= · ,
т.к.
по условию
=
,
а
= 0 потому, что при Δх
→ 0 имеем Δи
→ 0. ●
Пример. Найти производные функций:
а)
у
= (
+ 5)3;
б)
у
=
;
у
=
.
□ а)
Функцию у
= (
+ 5)3
можно расписать следующим образом: у
= и3,
а и
=
+ 5. Тогда
= 3и2·(
+ 0) = 3(
+ 5)2·
=
;
б)
Функцию у
=
можно расписать следующим образом: у
=
,
а и
= х2.
Тогда
=
·2х
= 2х
или
=
=
= 2х
;
учитывая предыдущие рассуждения, можно записать:
=
=
·
=
·3
·
=
=
·3
·
=
.
■
Можно написать таблицу производных сложных функций:
Пусть и = и(х). Тогда
1.
= пип−1·
,
в частности
=
·
,
=
·
.
2.
=
·
=
·
,
в частности
=
·
.
3.
= аи
·
,
в частности
= еи·
.
4.
=
·
.
5.
=
·
.
6.
=
·
.
7.
=
·
.
8.
=
·
.
9.
=
·
.
10.
=
·
.
11.
=
·
.
12. Гиперболические функции:
=
=
·
= chи·
,
=
=
·
= shи·
,
=
=
·
=
·
,
=
=
·
=
·
.
§ 5. Логарифмическая производная (логарифмическое дифференцирование)
Так как
=
,
а
=
·
=
,
то
=
=
.
Пусть и = f(x). Тогда
=
=
·
=
,
т.е.
=
.
Производная от логарифма функции называется логарифмической производной функции f(x). Для упрощения записи при логарифмическом дифференцировании знак модуля у функции f(x) можно опустить.
Найдем производную
от показательно-степенной функции
у =
. Пусть и =
и(х),
v
= v(x).
Тогда у
= иv.
Используем логарифмическое дифференцирование:
у = иv,
=
=
,
=
,
=
+ v
,
= y( + v )
или
= иv ( + v ).
Пример. Найти производную функции
у
=
.
□ Используем логарифмическое дифференцирование:
у = ,
=
=
,
=
,
= + х· = + 1,
= y( + 1)
или
= ( + 1). ■
Логарифмическую производную удобно использовать не только для показательно-степенных функций.
Пример. Найти производную функции
у
=
.
□ Используем логарифмическое дифференцирование:
у = ,
=
=
+
−
,
=
·
+
·
·2х
−
·
·(−1)
=
,
= ·у·
или
= · . ■