§ 10. Формула тейлора для функции двух переменных
Формулу Тейлора для функции одной переменной
=
+
+
+…+
+
+
с
остаточным членом
можно записать в виде
=
+
+
+…+
+
с остаточным членом ,
где
=
,
,
,
.
Тогда можно написать аналогичную формулу Тейлора для функции двух переменных.
Пусть функция двух переменных
неперерывна
вместе со всеми своими частными
производными до
-го
порядка включительно в некоторой
окрестности точки
.
Тогда справедлива следующая формула
Тейлора
=
+
+
+
…+
+
+
с
остаточным членом
,
где
,
,
,
,
,
.
Если
в формуле Тейлора положить
,
то получим формулу Маклорена для функции
двух переменных.
Формула
Тейлора, например, для
будет иметь вид
=
+
+
+
или
=
+
+
+
+
+
с остаточным членом
=
+
,
где , , , .
§ 11. Поверхности уровня и линии уровня
Пусть в трехмерном пространстве имеется область D, в которой задана функция
u = u(х, у, z).
В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле (например, если функция u(х, у, z) обозначает температуру в точке M(х, у, z), то говорят, что задано скалярное поле температур).
Рассмотрим точки в области D, в которых функция u(х, у, z) имеет постоянное значение С:
u(х, у, z) = С.
Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если взять другое значение С, то получим другую поверхность. Такие поверхности называются поверхностями уровня. Их еще называют поверхностями скалярного поля. Так как функцию, задающую скалярное поле, часто, независимо от ее физического смысла, называют потенциалом, то поверхности уровня называют также эквипотенциальными поверхностями, т.е. поверхностями равного потенциала.
Пример. □ Задано скалярное поле
u(х,
у,
z)
.
Поверхностями уровня будут поверхности
С,
т.е.
эллипсоиды с полуосями
,
,
.
■
Если функция u есть функция двух переменных
u = u(х, у),
то имеют место линии уровня на плоскости ХОУ :
u(х, у) = С.
Пример. Определить линии уровня функции
z = 1 – х2 – у2
(параболоид вращения х2 + у2 = 2рz).
□ Линиями уровня будут линии с уравнениями
1 – х2 – у2 = С.
Это
окружности с радиусами
.
В частности, при С
= 0 получаем окружность
х2 + у2 =1. ■
§ 12. Производная по направлению
Рассмотрим в
области D
функцию u
= u(х,
у,
z)
точку М(х,
у,
z).
Проведем из точки М
вектор
,
направляющие косинусы которого
,
.
На векторе
на расстоянии
от его начала рассмотрим точку
М1(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z).
Таким
образом
.
Предположим, что функция u(х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области D.
Запишем полное приращение функции:
∆u
=
+
+
,
(1)
где
,
,
→ 0 при
→ 0.
Разделим (1) на :
+
+
+
.
(2)
Очевидно, что
,
,
.
Тогда (2) примет вид:
.
(3)
Переходя к пределу при → 0, получим
.
(4)
Предел
называется производной
от функции
u
= u(х,
у,
z)
в
точке
М(х,
у,
z)
по
направлению вектора
,
т.е.
.
(5)
Из (4) следует, что, зная частные производные, можно найти производную по любому направлению вектора .
Производная по направлению характеризует скорость изменения скалярной функции u (скорость изменения скалярного поля u) в точке М по направлению вектора .
Пример. Дана
функция u
= х2
+ у2
+ z2.
Найти
в точке М(1;
1; 1) в направлении вектора
.
□ Находим направляющие косинусы вектора :
;
;
.
Найдем частные производные:
;
;
.
Найдем значения частных производных в точке М:
;
;
.
Тогда
.
■