§ 6. Дифференцирование сложной функции

Пусть задана функция

z = F(u, v), (1)

где

u = φ(x, y), v = ψ(x, y), (2)

т.е. задана сложная функция.

Тогда

, (3)

. ( )

Пример. Найти частные производные функции

,

где , .

□ Найдем частную производную по х:

+

.

Аналогично находится :

+

. ■

Аналогично находятся частные производные сложных функций большего числа переменных. Например,

w = F(z, u, v, s),

где z, u, v, s − функции от х и у:

,

.

Пусть z = F(x, y, u, v), где

у = f(x), u = φ(x), v= ψ(x).

Тогда z = F(x, y, u, v) – является функцией от одной переменной х и можно найти обыкновенную производную :

.

Так как y, u, v – функции одной переменной х, то частные производные обращаются в обыкновенные и, кроме того, .

Тогда получим

формула полной производной.

Пример. Найти полную производную функции

z = z(x, y) = , .

□ Имеем

= . ■

§ 7. Полный дифференциал сложной функции

Пусть задана сложная функция

z = F(u, v),

где

u = φ(x, y), v = ψ(x, y)

Тогда полный дифференциал имеет вид:

+ .

Пример. Найти полный дифференциал функции

z = u²v³, , .

□ Имеем

+ = +

+ .

Далее можно заменить функции u и v их выражениями, раскрыть скобки и сгруппировать члены с и . ■

§ 8. Дифференцирование неявной функции

Пусть некоторая функция у от х определена уравнением F(х, у) = 0 или, т.к. у = f(х),

F(х, f(х)) = 0.

Продифференцируем это уравнение по правилу дифференцирования сложной функции:

= 0.

Тогда

.

Пример. Найти , если

х² + у² – 1 = 0, где у = f(х).

□ Имеем

F(х, у) = х² + у² – 1, = . ■

Пусть теперь неявная функция имеет вид F(x, y, z) = 0, где z = f(x, y), т.е.

F(x, y, f(x, y)) = 0.

Продифференцируем это уравнение по правилу дифференцирования сложной функции:

по х : = 0.

Тогда

.

по у : = 0.

Тогда

.

Пример. Найти частные производные , ,

если

х² + у² + z² – R² = 0, где z = f(x, y).

□ Имеем

F(х, у, z) = х² + у² + z² – R²,

= = , = = . ■

§ 9. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция z = f(x, y) и найдены частные производные первого порядка:

и .

В общем случае найденные производные являются функциями от x и y. Поэтому их можно опять дифференцировать по x и y:

, , , .

Эти найденные производные можно опять дифференцировать.

Частной производной п-го порядка называется производная от производной (п – 1)-го порядка

, , , … , , .

, , … , − смешанные производные.

Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции

z = х²у + у³.

□ Имеем

2ху , х² +3 у²,

2у , 2х, 2х, 6у. ■

Видно, что . В общем случае .

Аналогично для функции любого числа переменных.

Пример. Найти , если .

□ Имеем

, ,

. ■

Пусть дана функция z = f(x, y) .

Дифференциал 1-го порядка:

+ .

Дифференциал 2-го порядка:

d²z = d(dz) .

Дифференциал 3-го порядка:

d³z = d(d²z) .

Для дифференциала п-го порядка:

dⁿz .