§ 4. Частные производные
Рассмотрим функцию z = f(x, y).
Частной производной по х от функции z = f(x, y) называется предел частного приращения ∆хz по х к приращению ∆х при ∆х→0
.
Обозначения:
.
Аналогично определяется частная производная по у:
.
Обозначения:
.
При вычислении частной производной по х предполагается, что переменная у – постоянная.
При вычислении частной производной по у предполагается, что переменная х – постоянная.
В остальном правила дифференцирования такие же, что и для функции одной переменной.
Пример. Найти частные производные функции
.
□ Имеем
;
.
■
Аналогично определяются частные производные функции любого числа переменных.
Пример. Найти частные производные функции
.
□ Имеем
;
;
;
.
■
§ 5. Полное приращение и полный дифференциал
Напишем полное приращение функции z = f(x, y):
∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x, y). (1)
Предположим , что f(x, y) в рассматриваемой точке (x, y) имеет непрерывные частные производные.
Прибавим и вычтем в (1) f(x, y + ∆y):
∆z = (f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x, y + ∆y)) + (f(x, y + ∆y) − f(x, y)) (2)
Выражение во вторых скобках можно рассматривать как разность двух значений функции одной переменной у (х = const).
Применяя теорему Лагранжа, получим:
f(x,
y
+ ∆y)
− f(x,
y)
=
,
(3)
где
.
Аналогично с первыми скобками (здесь y + ∆y = const).
Применяя теорему Лагранжа, получим:
f(x
+ ∆x,
y
+ ∆y)
– f(x,
y
+ ∆y)
=
,
(4) где (
)
Подставим (3) и (4) в (2):
∆z = + . (5)
Так как частные производные непрерывные, то
,
(6)
Равенства (6) можно записать в виде:
,
,
(
)
где
− бесконечно малые при ∆х→0
и ∆у→0.
Тогда (5) запишется в виде:
∆z
=
+
+
(
)
Сумма двух последних членов есть бесконечно малая высшего порядка.
Сумма
двух первых членов есть выражение,
линейное относительно ∆x
и ∆y.
При
это выражение является главной частью
приращения ∆z,
отличаясь от ∆z
на бесконечно малую высшего порядка.
Функция z = f(x, y),полное приращение ∆z которой в данной точке (x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно ∆x и ∆y, и бесконечно малой величины высшего порядка, называется дифференцируемой в данной точке, а главная линейная часть приращения называется полным дифференциалом:
+
или
+
.
Тогда, приращение можно записать в виде
∆z
=
+
Так как − бесконечно малая величина, то
∆z
. (7)
Выражение (7) используется в приближенных вычислениях.
Приращения
независимых переменных ∆x
и ∆y
называют дифференциалами независимых
переменных х
и у
и обозначают
,
.
Тогда
+
.
Пример. Найти полное приращение и полный дифференциал функции
в точке (2; 3) при ∆x = 0,1; ∆у = 0,2.
□ Имеем
∆z = (x + ∆x)(y + ∆y) – xy = x∆у + y∆х + ∆x·∆y.
+ = y∆х + x∆y.
∆z = 3·0,1 + 2·0,2 + 0,1·0,2 = 0,72;
3·0,1 + 2·0,2 = 0,7 ,
т.е. ∆z . ■
Аналогично определяется полный дифференциал функции любого числа переменных:
z = f(x1, х2, х3, …, хп )
+
.
Пример. Найти полный дифференциал функции
.
□ Имеем
+
;
=
;
=
;
=
.
Тогда
+ = +
+ + . ■
Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
Известно, что
∆z
или
f(x
+ ∆x,
y
+ ∆y)
– f(x,
y)
+
или
f(x + ∆x, y + ∆y) f(x, y) + + .
Пример. Вычислить приближенно
.
□ Имеем
f(x + ∆x, y + ∆y) f(x, y) + + .
Определимся с функцией:
z
= f(x,
y)
=
.
Тогда
+
.
Выбираем х, у, ∆х, ∆у: х = 0, ∆х = 0,09, у = 1, ∆у = − 0,01.
Тогда
+
=
+ 0 +
+ 3·(− 0,01) = − 0,03. ■