Глава 3. Векторные функции скалярного аргумента
§ 1. Основные понятия
Ранее рассматривалось понятие – переменная величина х называется однозначной функцией переменной t, если каждому допустимому численному значению t соответствует определенное значение х. В этом определении фигурируют только численные значения величин t и х, т.е. t и х являются скалярными величинами или с к а л я р а м и, так что речь идет о скалярной функции скалярного аргумента.
Предположим теперь,
что каждому
допустимому численному значению
скалярной переменной величины t
соответствует определенный вектор
,
т.е. определенное численное значение
его модуля и определенное направление
в пространстве. Тогда говорят, что
вектор
есть
векторная функция скалярного аргумента
t
.
При
изменении t
вектор
изменяется, вообще говоря, как по модулю,
так и по направлению.
Проекции вектора для каждого значения t принимают определенные численные значения, т.е. являются скалярными функциями скалярного аргумента t и можно записать
(1)
Таким образом, задание векторной функции скалярного аргумента равносильно заданию трех скалярных функций этого аргумента.
Графически
представить изменение векторной функции
можно следующим образом. Векторы
,
соответствующие разным значениям t,
откладывают от общего начала О.
При изменении t
конец вектора
опишет некоторую кривую, называемую
годографом
векторной
функции
.
Тогда точка О
– полюс
годографа.
Вектор, изменяющийся только по модулю (с постоянным направлением), имеет своим годографом луч (полупрямую), выходящий из полюса. Вектор, изменяющийся только по направлению ( модуль постоянен), имеет своим годографом кривую, лежащую на сфере с центром в полюсе.
Кривую в пространстве обычно задают в параметрической форме:
.
(2)
Тогда уравнение кривой в проекциях можно записать в виде:
,
(3)
где
x,
y,
z
определяются уравнениями (2),
−
радиус-вектор точки, перемещающейся по
кривой.
Пример. □ В качестве примера можно рассмотреть винтовую линию − кривую, которую описывает точка, участвующая в двух движениях: равномерном вращении вокруг оси вращения OZ равномерном прямолинейном движении вдоль этой оси. Если считать, что угловая скорость вращения равна 1, то параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
,
где а – расстояние движущейся точки М от оси вращения, с – скорость перемещения вдоль оси вращения, t – время, а также угол поворота точки М. Следовательно, в проекциях уравнение винтовой линии запишется в виде
.
Уравнения эллипса и циклоиды, лежащих в координатной плоскости XOY, в проекциях имеют вид
,
.
■
В общем случае уравнениями проекций кривой на плоскости XOY, YOZ, XOZ имеют вид
,
,
.