422. Диференціали вищих порядків

Диференціалом 2-го порядку функції в точці : називається вираз (диференціал від диференціала 1-го порядку функції в цій точці)

Диференціалом -го порядку функції в точці : називається вираз (диференціал від диференціала -го порядку функції в цій точці) .

Приклад 4.6. Знайти диференціал 3-го порядку функції

Розв'язання

Диференціал 3-го порядку функції знайдемо за формулою

Отже, .

Відповідь,

4.2.3. Правила знаходження диференціала

1. Диференціал суми двох диференційовних функцій і дорівнює сумі диференціалів цих функцій: .

2. Диференціал добутку двох диференційовних функцій і визначається за формулою .

3. Диференціал частки двох диференційовних функцій і визначається за формулою

4. Диференціал складеної функції. Нехай , тобто . Тош\ .

4.2.4. Застосування диференціала до наближених обчислень

У наближених обчисленнях використовусться рівність

Приклад 4.7. Обчислити наближено .

Розв'язання

Використаємо рівність / .

Отже, .

Відповідь. .

4.3. Основні теореми диференціального числення. Дослідження функцій та побудова їх графіків

43.1. Правило Лонігала

Нехай функції і :

1. диференційовні в деякому околі точки і в цьому околі

2. одночасно є нескінченно малими або нескінченно ве­ликими в точці

3. існує границя відношення похідних цих функцій . Тоді існує границя відношення цих функцій , причому

Приклад 4.8. За правилом Лопіталя знайти

Розв'язання

Відповідь, .

4.3.2. Основні теореми диференціального числення

Теорема Ферма. Якщо диференційовна функція у деякій точці інтервалу набуває свого найбільшого або найменшого значення, то в цій точці похідна дорівнює нулю: .

Геометрично теорема Ферма означає, що в точках, де функція набуває найбільшого та найменшого значень, дотичні є го­ризонтальними.

Теорема Ролля. Нехай задано функцію ), непере­рвну на відрізку і диференційовну на інтервалі . Тоді, якшо то всередині відрізка знайдеться точка , така шо .

Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови тео­реми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка , в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю.

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію , неперервну на відрізку і диференційовну на інтервалі . Тоді знайдеться точка , така що похідна функції в цій точці дорівнюва­тиме відношенню , тобто

.

Геометрична інтерпретація тео­реми Лагранжа: на інтервалі знайдеться хоча б одна точка , в якій дотична є паралельною хорді, що сполучає кінці дуги функції на відрізку .

Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Не­хай на відрізку задано дві функції і . Якщо ці фун­кції неперервні на відрізку і диференційовні на інтервалі , причому , то на інтервалі існує точка , така що

Геометрична інтерпретація тео­реми Коші

Нехай рівняння є рівнянням кривої, де на функції

і накладено умови теореми Коші. Теорема Коші ствер­джує існування точки , в якій дотична до кривої (4.1) парале­льна хорді, що сполучає кінці цієї кривої.