3.2.9. Властивості неперервних функцій

Теорема 1. Нехай функції і - неперервні на інтервалі . Тоді їх наведені далі комбінації також непере­рвні

1. 

2. 

3. 

4. 

Теорема 2 (Больцано-Коші) Нехай функція y = f{x) не­перервна на відрізку і на кінцях відрізка набувас значень різних знаків. Тоді на проміжку знайдеться точка , в якій функція перетворюється на нуль: .

Теорема 3 (Вейерштрасса). Неперервна на відрізку функція досягає на цьому відрізку свого найбільшого і найменшого значень.

Теорема 4 (Коші). Нехай функція неперервна на відрізку і на його кінцях набуває різних значень. Позначи­мо . Тоді при будь-якому знайдеться точка , така що .

3.2.10. Розриви функції та їх класифікація

Функція , яка не є неперервною в точці х0і назива­ється розривною в цій точці. Точка називається точкою роз­риву першого роду функції , якщо існують скінчені од­носторонні границі і при цьому:

• - неусувний розрив першого роду

• - усувний розрив першого роду

Точка називається точкою розриву другого роду фун­кції , якщо одна із односторонніх границь не існує або нескінченна.

3.2.11. Методика дослідження функції на неперервність

1. Знаходимо точку - "підозрілу" на розрив.

Це може бути точка, в якій функція невизначена або змі­нює закон визначеності.

2. Визначаємо інтервали неперервності функції.

3. Обчислюємо .

4. Робимо висновок згідно з теоремами, або вико­ристовуючи означення точок розриву.

Приклад 3.13. Дослідити на неперервність функцію

Розв'язання

1. Точка є "підозрілою" на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку маємо , на проміжку - іншу залежність: ).

2. Функція неперервна на проміжку і .

3. Знаходимо .

4. , тому за означенням функція - має в точці х = 1 неусувний розрив 1-го роду.

Розділ 4. Диференціальне числення функцій однієї змінної 4.1. Похідна функції

4.1.1. Поняття похідпої

Нехай функція визначена на деякому проміжку X. Візьмемо довільну точку і надамо аргументу довільний приріст такий, щоб точка .

Функція набуде при цьому приросту .

- приріст аргументу,

- приріст функції.

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аріументу, коли при­ріст аргументу прямує до нуля, тобто

де - позначення похідної, запропоноване Нью­тоном;

- позначення Лейбніца похідної функції

Операція шукання похідної називається диференціюванням.

Функція називається диференційованою в точці , якщо існує похідна цієї функції в цій точці.

4.1.2. Геометричішй та механічний зміст похідної

Дотичною до кривої в даній точці називається гра­ничне положення січної , коли точка наближається вздовж кривої до точки .

Значення похідної в точці дорівнює кутовому коефіці­єнту дотичної до графіка функції в точці і дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до додатного напряму осі :

де - кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції.

- рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою .