2.3. Лінії в просторі

23.1. Рівняння поверхні в просторі. Рівняння сфери

Рівняння називасгься рівнянням поверхні у заданій системі координат, якщо цс рівняння задовольняють координати будь-якої точки цієї поверхні й не задоволь­няють координати жодної точки, яка не лежить на цій поверхні.

Рівняння сфери: ,

де - радіус сфери;

- центр сфери.

Зауваження. Якщо центр сфери знаходиться у початку ко­ординат, то рівняння сфери мас такий вигляд: .

2.3.2. Види рівнянь площини

1. Загальне рівняння площини:

.

Дослідження неповного рівпяння площини

Рівняння площини	Зауваження
	Площина проходить через початок координат
	Площина паралельна осі Площина паралельна осі Площина паралельна осі
	Площина проходить через вісь Площина проходить через вісь Площина проходить через вісь
	Площина паралельна площині Площина паралельна площині Площина паралельна площині
	Координатна площина Координатна площина Координатна площина

2. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора , мас такий вигляд:

3. Рівняння площини, що проходить через три точки , що не лежать на оодній прямій:

Приклад 2.11. Записати рівняння площини, яка проходить через точки (1;1;1), (2;3;4), (4;3;1).

Розв'язання

Розкривши визначник, дістанемо

Отже, - шукане рівняння площини.

Відповідь. .

2.3.3. Відстань між двома точками в просторі. Відстань від точки до площини

Відстань між точками та знаходиться за формулою:

Відстань від точки до площини визначається за формулою

Приклад 2.12. Знайти довжину висоти піраміди, за­даної координатами своїх вершин:

.

Розв'язання

Висоту знайдемо як відстань від точки до площини .

Знайдемо рівняння площини :

Розкривши визначник, маємо .

Знайдемо довжину висоти :

Відповідь,

23.4. Взаємне розміщений двох площин

Нехай дві площини задано рівняннями

і .

Тоді - вектори нормалей до

площин.

1. Кут між площинами визначається кутом між век­торами і :

2. Умова перпендикулярності площин

3. Умова паралельності площин

2.3.5. Види рівнянь прямої у просторі

1. Канонічне рівняння прямої (рівняння прямої, яка про­ходить через точку , паралельно до заданого векто­ра ):

2. Рівняння прямоїяка проходить через дві точки _, має такий вигляд:

3. Загальне рівняння прямої. Будь-яка пряма лінія у про­сторі подасться системою двох рівнянь, які задають дві різні площини, що проходять через цю пряму.

- загальне рівняння прямої.

4. Параметричне рівняння прямої:

23.6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі

Нехай дві прямі у просторі визначаються рівняннями

і

Тоді та - напрямні вектори да­них прямих.

1) Прямі паралельні, якщо напрямні вектори прямих паралельні, тобто

2) Прямі взаємно перпендикулярні, якщо напрямні век­тори прямих перпендикулярні, тобто .

Кут між прямими визначається кутом між їх напря­мними векторами: