3.2.3 Анализ и численное моделирование хаотических колебаний угловой частоты в трехмашинной ээс

Анализ возникновения хаотических режимов отклонений угловой частоты проводился для трехмашинной ЭЭС с линиями без потерь. Предполагается, что синхронные генераторы 1 и 2 имеют одинаковую инерционность и демпфирование, но инерционность и демпфирование выше, чем инерционность и демпфирование синхронного генератора 3.

Исследуемая ЭЭС показана на рисунке 3.22

Рисунок 3.22 – Трехмашинная электроэнергетическая система

В этом случае предполагается, что все три генератора выдают мощность в электрическую сеть. Генератор 1 и генератор 2 имеют большую инерционность по сравнению с генератором 3 . Тогда переходный процесс в ЭЭС может быть описан следующими уравнениями колебаний [

,

,

, (3.5)

,

,

.

Обозначение переменных состояния и параметров ЭЭС такие же, как для случая 1 и для случая 2.В нашем анализе интегрирование (3. 5) производится при использовании следующих значений параметров , , , , , , , , , и начальных условий

(0.6, 0.4, 0.6, 0.0, 0.6, 0.4) с различными значениями управляющих воздействий ε. На основании (3. 5), заданных значений параметров и начальных условий по предложенному алгоритму получен наибольший показатель Ляпунова .

Поскольку у величины знак положительный, мы заключаем, что колебания, вызванные начальным состоянием, являются переходными хаотическими колебаниями. Отметим, что при интегрировании системы уравнений (5.15) c начальными условиями (0.6, 0.4, 0.6, 0.0, 0.6, 0.4) обнаруживаются хаотические колебания углов и угловых частот генератора 1, генератора 2 и генератора 3, как показано на рисунках 5.23, 5.24, 5.27, 5.30, 5.33, 5.36 и 5.37. Фазовые портреты всех решений системы уравнений (5.15) для генератора 1, генератора 2 и генератора 3 представлены на рисунках 5.25, 5.26, 5.28, 5.29, 5.31, 5.32, 5.34 и 5.35.

При решении системы уравнений (3.5), обнаружено явление разрушения хаотических колебаний при превышении критического времени . Наступает внезапная потеря устойчивости генератора 3 и, как следствие, генератора 1 и генератора 2. Соответствующее решение виде временной зависимости и фазового портрета данного явления приведены на рисунках 3.40 и 3.41.

Результаты этого раздела указывают на усложнений хаотической динамики трехмашинной ЭЭС в сравнении с результатами двухмашинной ЭЭС предыдущих разделов. Это следует из сопоставления соответствующих фазовых портретов, но в тоже время нельзя не заметить и явных аналогий полученных результатов.

Исследование хаотических процессов ЭЭС и анализ следствий из них вытекающий, указывает на присутствие в теории детерминированного хаоса ЭЭС так называемого “эффекта бабочки”. К примеру, незначительные изменения начальных условий приводит с течением времени к непредсказуемому расхождению траекторий в фазовом пространстве ЭЭС. С этим же “эффектом бабочки” связана внезапная потеря устойчивости генераторов. Чем сильнее проявляется “эффект бабочки”, тем потенциально опаснее непредсказуемая ситуация, развивающаяся в ЭЭС. В сущности, обнаружена генетическая связь между “эффектом бабочки” и детерминированным хаосом и такая связь, как можно предположить, характерна не только для ЭЭС, и в целом для нелинейных диссипативных систем любой природы.

В контексте нелинейной динамики хаотический режим означает длительно нерегулярные и случайные, но ограниченные траектории в фазовом пространстве ЭЭС, которые являются очень чувствительными к начальным условиям, и имеет широкополосный непрерывный спектр. Другими словами, траектория в фазовом пространстве, если она является хаотической, совершенно непредсказуема, даже когда траектория эволюционирует согласно детерминированной системе дифференциальных уравнений.

Хаотические режимы особенно затрудняют работу синхронных генераторов, поскольку хаотические режимы имеют широкополосный спектр частот и могут индуцировать гармоники тока и напряжения, опасные для функционирования синхронных генераторов.

Рисунок 3.23 – Переходный хаотический характер колебаний угла генератора 1 с начальными условиями (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.4, 0.0)

Рисунок 3.24 – Переходный хаотический процесс колебаний угловой частоты генератора 1 с начальными условиями (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.4, 0.0)

Рисунок 3.25 – Фазовый портрет переходной хаотической траектории в системе координат(δ₁,ω₁) при начальных условиях (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.4, 0.0)

Рисунок 3.26 – Трехмерное изображение фазового портрета переходной хаотической траектории в системе координат(δ₁,ω₁) при начальных условиях (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.4, 0.0)

Рисунок 3.27 – Переходный хаотический процесс колебаний угловой частоты генератора 1 с начальными условиями (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.3, 0.0)

Рисунок 3.28 – Фазовый портрет переходной хаотической траектории в системе координат(δ₁,ω₁) при начальных условиях (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.3, 0.0)

Рисунок 3.29 – Трехмерное изображение фазового портрета переходной хаотической траектории в системе координат(δ₁,ω₁)

Рисунок 3.30 – Переходный хаотический процесс колебаний угловой частоты генератора 2 с начальными условиями (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.3, 0.0)

Рисунок 3.31 – Фазовый портрет переходной хаотической траектории в системе координат(δ₂,ω₂) при начальных условиях (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.3, 0.0)

Рисунок 3.32 – Трехмерное изображение фазового портрета переходной хаотической траектории в системе координат(δ₂,ω₂) при начальных условиях (0.4, 0.0, 0.4, 0.0, 0.3, 0.0)

Рисунок 3.33 – Переходный хаотический процесс колебаний угловой частоты генератора 2 с начальными условиями (0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0)

Рисунок 3.34 – Фазовый портрет переходной хаотической траектории в системе координат(δ₂,ω₂) при начальных условиях (0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0)

Рисунок 3.35 – Трехмерное изображение фазового портрета переходной хаотической траектории в системе координат(δ₂,ω₂) при начальных условиях (0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0)

Рисунок 3.36 – Переходный хаотический характер колебаний угла генератора 3 с начальными условиями (0.6, 0.0, 0.6, 0.0, 0.6, 0.0)

Рисунок 3.37 – Переходный хаотический процесс колебаний угловой частоты генератора 3 с начальными условиями (0.6, 0.0, 0.6, 0.0, 0.6, 0.0)

Рисунок 3.38 – Фазовый портрет переходной хаотической траектории в системе координат(δ₃,ω₃) при начальных условиях (0.6, 0.0, 0.6, 0.0, 0.6, 0.0)

Рисунок 3.39 – Трехмерное изображение фазового портрета переходной хаотической траектории в системе координат(δ₃,ω₃) при начальных условиях (0.6, 0.0, 0.6, 0.0, 0.6, 0.0)

Рисунок 3.40 – Внезапная потеря устойчивости переходных хаотических колебаний при начальных условиях (0.3, 0.0, 0.3, 0.0, 0.3, 0.0)

Рисунок 3.41 – Фазовый портрет потери устойчивости в системе координат (δ₃,ω₃) при начальных условиях (0.3, 0.0, 0.3, 0.0, 0.3, 0.0)