3 Хаотические режимы в системах электроснабжения с несколькими Источниками

3.1 Обнаружение и идентификация хаотических колебаний

Исследование хаотических переходных электромеханических процессов в электроэнергетических системах является одним из важнейших направлений современной электроэнергетики. Успехи этого научного направления для ЭЭС, движение которых описывается на языке траекторий в фазовом пространстве, общепризнаны, но в то же время концепция режимов детерминированного хаоса в ЭЭС остается предметом серьезных дискуссий. В некоторых публикациях ставится под сомнение даже сама правомочность введения понятия «режимы детерминированного хаоса в ЭЭС» и предлагается лишь искать в ЭЭС «следы» классического хаоса.

В этой связи представляется совершенно необходимым развитие теоретических представлений о режимах детерминированного хаоса в ЭЭС в аспекте возникновения, эволюции и синхронизации хаоса.

Неотемлемое свойство детерминированного хаоса – наличие так называемого «эффекта бабочки». Проявляется эффект в том, что даже незначительные изменения начальных условий приводят с течением времени к непредсказуемому расхождению траекторий в фазовом пространстве, тогда как в классическом представлении считается, что если бы в некоторый момент времени состояние ЭЭС было бы известно с достаточной точностью, то в принципе будущее поведение системы можно было бы предсказать, а прошлое – восстановить. «Эффект бабочки» может явиться причиной возможной потери устойчивости ЭЭС. Чем сильнее проявляется «эффект бабочки», тем потенциально опаснее непредсказуемая ситуация, развивающаяся в ЭЭС.

Математическая модель хаотической ЭЭС представляет собой детерминированную систему нелинейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, решение которой ведет себя непредсказуемым и случайным образом – такой тип решения называется режимом детерминированного хаоса.

Для того, чтобы можно было наблюдать нерегулярные движения ЭЭС, допустим, что в начальный момент времени ЭЭС описывается не точкой с координатами x₀^T = [δ_1,0, ω_1,0, δ_2,0, ω_2,0, … , δ_i,0, ω_i,0, … , δ_n,0, ω_n,0], , а малой областью V₀ в фазовом пространстве, все точки которой равновероятны. Эту область представим в виде сферы с центром в точке x₀ и малым радиусом D(0). По теореме Лиувилля при движении ЭЭС в соответствии с уравнением объем фазовой области V(t), в которую переходит начальная область V₀, не меняется со временем. Если система устойчива к малым вариациям (малым возмущениям) начальных условий, форма области V(t) как функция t будет приблизительно сохраняться, что соответствует регулярному поведению системы, при котором ЭЭС имеет только периодические движения. Справедливо и обратное утверждение: если ЭЭС регулярна, она является устойчивой к малым вариациям начальных условий. Для неустойчивых ЭЭС при малых вариациях начальных условий происходит резкое отклонение траекторий движения от исходной траектории , то есть малые возмущения нарастают во времени. Математически это означает, что отклонения D(t) от исходной траектории по определенным направлениям в фазовом пространстве увеличиваются на начальном интервале времени по экспоненциальному закону

D(t) = D(0)exp(λt), (3.1)

где показатель Ляпунова λ является положительным.

В дальнейшем в силу вступает механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения, и траектории снова начинают сближаться. В этом случае с ростом времени происходит сильная деформация области V(t) при сохранении ее объема по отношению к начальной области V_o – по одним направлениям она расширяется, а по другим сжимается. Тогда траектории ЭЭС при достаточно высоком уровне их нелинейности равномерно перемешаются в занятой ими области фазового пространства, что соответствует нерегулярному поведению ЭЭС и появлению в ней хаотических свойств, для описания которых нельзя использовать вероятностные представления, поскольку система нелинейных дифференциальных уравнений (1.47) является полностью детерминированной.

Таким образом, в результате проведенного анализа становится возможным сформулировать необходимое и достаточное условия возникновения режимов детерминированного хаоса в ЭЭС, а именно:

1. Необходимое условие состоит в том, чтобы выполнялось M < S и это необходимое условие следует из обобщения теоремы Лиувилля-Арнольда для неавтономных диссипативных систем.

2. Достаточное условие состоит в том, чтобы выполнялось λ > 0 и это достаточное условие следует из того факта, что в определенной ситуации появляется хотя бы один положительный показатель Ляпунова.