2.7 Обоснование возможности возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах. Идентификация хаотических и переходных хаотических колебаний

Бифуркация странного аттрактора может осуществляться как переход типа «хаос–хаос» или «хаос–порядок». Бифуркация странного аттрактора может быть вызвана сменой «устойчивости» нетривиальных гиперболических подмножеств, которые, будучи непритягивающими при значениях параметров ниже точек бифуркации, порождают метастабильный хаос. Метастабильная стохастичность наблюдается конечное время вместе со «стабильным» хаосом исследуемого хаотического режима, а с превышением параметров бифуркационных значений гиперболическое подмножество в окрестности исходного аттрактора становится притягивающим. Фиксируется бифуркационный переход типа «хаос–хаос».

Рассмотрим бифуркацию рождения квазиаттрактора из аттрактора Лоренца, реализующуюся в известной модели Лоренца [75]

, , . (2.44)

Методом численного эксперимента с использованием строгих результатов установлены границы области существования аттрактора Лоренца на плоскости параметров r и для b = 8/3.

Обратимся к рисунку 1.8, где приведены соответствующие бифуркационные кривые. Кривая l₁ отвечает существованию двояко асимптотической негрубой траектории типа петли седлового состояния равновесия в нуле координат. Кривая l₂ характеризует бифуркацию рождения аттрактора Лоренца. Заштрихованная область значений параметров отвечает условиям существования негрубого аттрактора Лоренца. Бифуркационная кривая l₃ разделяет пространство параметров ДС на области существования аттрактора Лоренца и квазиаттрактора.

Рисунок 2.8 – Бифуркационная диаграмма перехода типа

«хаос - хаос» в аттракторе Лоренца

Пересечение этой линии вызывает бифуркационный переход «хаос – хаос», при котором аттрактор Лоренца разрушается, уступая место квазиаттрактору. В области квазиаттракторов сохраняется сложная структура разбиения фазового пространства на траектории, включающие и гомоклинические.

Однако появляются негрубые гомоклинические траектории седловых циклов и как следствие – устойчивые периодические движения с большими периодами и малыми областями притяжения.

Точка бифуркации странного аттрактора – это негрубое состояние ДС в момент прохождения одного из ЛХП через нулевое значение в критической точке. Например, для некоторого сигнатура спектра ЛХП аттрактора была «+», «0», «–», …, «–».

В бифуркационной точке третий показатель спектра обращается в нуль, отражая негрубость режима: «+», «0», «0», «–», …, «–», и с превышением появляется грубый аттрактор с другой сигнатурой спектра ЛХП: «+», «+», «0», «–», …, «–».

Переходы в хаосе сопровождаются изменениями размерности и с физической точки зрения соответствуют вовлечению в колебательный процесс новых степеней свободы. Ввиду резкого замедления скорости сходимости ляпуновских показателей вблизи критической точки достоверно диагностируется лишь грубая ситуация, сопровождаемая «скачком»: «+», «0», «–», …, «–» «+», «+», «0», «–» , …, «–».

Бифуркация указывает, что хаотический режим связан с потерей устойчивости . Описание условий бифуркации подразумевает точный способ описания точки бифуркации, в которой изменение параметра приводит к потере устойчивости. В точке бифуркации существование и единственность решений не обеспечивается и происходит изменение числа решений.

В основном были классифицированы следующие задачи неустойчивости состояний в дифференциально-алгебраической модели ЭЭС :

(1) Тип I – рабочий режим, при котором переменные состояния и параметры ЭЭС ограничены в пределах приемлемых условий работы,

2. Тип IIA – алгебраическая бифуркация, которая происходит из-за наличия функциональной зависимости, связанной с уравнениями баланса мощностей в ЭЭС,

3. Тип IIS – статическая бифуркация, которая происходит из-за сингулярности эквивалентной матрицы Якоби ЭЭС, при условии несингулярности матрицы Якоби электрической сети,

4. Тип IID – динамическая бифуркация как результат слабо затухающих или неустойчивых колебаний,

5. Тип III – проблема каскадной устойчивости из-за неточной согласованности регулировок ЭЭС, таких как распределительные устройства, батареи статических конденсаторов и нагрузки, включающей асинхронные двигатели

Бифуркации седловой точки – особый, но несмотря на это, общий случай статической бифуркации, когда эквивалентная матрица Якоби ЭЭС имеет простое нулевое собственное значение; бифуркация Хопфа – особый, но несмотря на это, общий случай динамической бифуркации, когда эта матрица имеет пару чисто мнимых собственных значений. Также показано, что есть два типа статической (седловой точки) и динамической (Хопфа) бифуркации в ЭЭС: первый связан с механической динамикой генератора, а другой – с динамикой электромагнитных процессов генератора и его системы управления .

Потеря устойчивости отдельного генератора очень маловероятна, так как каждый генератор и его системы управления должны выполнить основное требование – работать устойчиво. Статическая алгебраическая бифуркация, эквивалент статической бифуркации, не требует инверсии матрицы ЭЭС и может быть представлена аналитически.