2.3.4Вероятностные решения

Вероятностным называется такое решение, которое может быть представлено плотностью вероятностей переменных состояния и из которого следует вывод о функциональной устойчивости или неустойчивости ДС. По определению ДС функционально устойчива, если при заданной сколь угодно малой области в пространстве переменных состояния можно указать такую область в пространстве параметров ДС, что при нахождении вектора параметров в любой точке области вектор переменных состояния не выйдет за пределы области , в противном случае ДС будет функционально неустойчива .

Таким образом, кроме детерминированных уравнений состояния необходимо знать класс распределения вероятностей переменных состояния, при которых ДС остается функционально устойчивой или, наоборот, становится функционально неустойчивой. Принадлежность к тому или иному классу распределений вероятности переменных состояния будет определять последующую эволюцию ДС, отбирая одну «траекторию движения» из некоторого множества потенциально возможных «траекторий».

С практической точки зрения под хаотическим можно понимать такое поведение ДС, которое не сводится ни к одному из описанных выше. Другими словами, хаотическим можно назвать поведение ДС в установившемся состоянии, которое локализовано в ограниченной области и не является ни положением равновесия, ни периодическим или квазипериодическим решением. Обнаруживается некоторое сходство хаоса с вероятностным решением, но полной тождественности нет. При этом возникает вопрос: если хаос не сводится ни к одному из указанных случаев, тогда каковы же его проявления?

Анализ спектра хаотических траекторий оказывается достаточным для решения такой задачи. Спектр хаотического процесса не может рассматриваться состоящим исключительно из дискретных частотных составляющих, наоборот, он является непрерывным и широкополосным, что является неотъемлемым свойством хаоса. Предельное множество для траекторий ДС с хаотическим поведением не может иметь вид простого геометрического объекта, например, окружности или тора, но оказывается по своей структуре подобным фракталам и канторовым множествам .

Другим свойством хаотических ДС является высокая чувствительность к вариациям начальных условий. Это означает, что если заданы две различные точки, располагаемые относительно друг друга на сколь угодно близком расстоянии, то траектории, исходящие из этих точек, будут расходиться (с некоторой скоростью, определяемой параметрами ДС) до тех пор, пока они не перестанут быть коррелированными. На практике никогда нельзя точно задать начальное состояние некоторой ДС. Оно обычно оказывается известным лишь с определенной допустимой погрешностью . Это значит, что если два начальных условия и отстоят друг от друга на расстояние меньше , различить их невозможно. Однако по истечении конечного времени решения и будут расходиться и перестанут быть связанными друг с другом. Поэтому независимо от того, сколь точно известно начальное условие, долговременное поведение хаотической ДС никогда не может быть предсказано. Непредсказуемое поведение – это то свойство хаотических ДС, которое имелось ввиду, когда в введении их описывали как детерминированную ДС, которая ведет себя случайным образом .

Фазовый портрет хаотических колебаний называется странным аттрактором. Результаты исследований свидетельствуют о сложной геометрической структуре странных аттракторов. Отличительная особенность странных аттракторов состоит в наличии свойства масштабной инвариантности, выражающегося в повторяемости их структуры на все более мелких масштабах.