2.5 Детерминированный хаос в динамических системах

Хаотические процессы в детерминированных нелинейных ДС – одна из фундаментальных проблем современного естествознания, являющаяся предметом пристального внимания исследователей.Убедительно доказано, что в таких системах причина генерирования сложных колебательных процессов, которые могут не отличаться по физическим характеристикам от истинно случайных, кроется не в большом числе степеней свободы и не в наличии флуктуации, как ранее полагалось, а в экспоненциальной неустойчивости режимов, порождающей чувствительную зависимость от точности задания начального состояния системы. Возможность подобных явлений прекрасно понимал и предвидел А. Пуанкаре. В неустойчивых системах "... совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть. ... Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное". Так писал он еще в 1908 г. в книге "Наука и метод". Развитие идей А. Пуанкаре в настоящее время привело к созданию фундамента хаотической динамики детерминированных систем. Как оказалось, необходимым условием возникновения хаоса в ДС является размерность фазового пространства N  3, и возбуждение незатухающих хаотических колебаний становится принципиально возможным в генераторах всего с полутора степенями свободы.

В системах с одной степенью свободы, фазовым пространством которых служит двумерная плоскость, возможные динамические режимы исчерпываются состояниями равновесия и периодическими колебаниями (предельными циклами). Это обстоятельство многие годы служило психологическим барьером, преодолению которого не помогали даже очевидные экспериментальные результаты.

2.5.1 Детерминированность и хаос

Что же представляет собой явление детерминированного хаоса? Вначале необходимо внести ясность в понимание терминов детерминированность и хаос, а затем определить содержание термина детерминированный хаос. Во всех случаях, когда говорят о детерминированности, подразумевают однозначную взаимосвязь причины и следствия. В применении к эволюционным законам это означает, что если задано некоторое начальное состояние системы при t = t₀, то оно однозначно определяет состояние системы в любой момент времени t > t₀.

В общем случае, зависимость будущего состояния x(t) от начального x(t₀) можно записать в виде: x(t) = F[x(t₀)], где F – детерминированный закон (или оператор), который осуществляет строго однозначное преобразование начального состояния x(t₀) в будущее состояние x(t) для любого t > t₀. Этот закон может представлять собой функцию, дифференциальное или интегральное уравнение, просто некоторое правило, заданное таблицей или графиком и т.д. Важно главное: закон F однозначно трансформирует начальное состояние (причину) в будущее состояние (следствие).

Выведем неустойчивую ДС из равновесия малым отклонением. Это возмущение начнет нарастать в силу неустойчивости. Далее нарастание возмущения начнет замедляться (вступит в силу механизм нелинейного ограничения). Что можно ожидать в этой ситуации? Во-первых, в силу нелинейного ограничения отклонение уменьшится строго до нуля. ДС вернется в исходное состояние равновесия. Теоретически это возможно, однако очень маловероятно, так как исходное состояние равновесия неустойчиво. Более вероятна вторая ситуация: ДС вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Этот процесс будет длиться бесконечно во времени. Но реализация такого процесса требует некоторых специальных условий.

Неустойчивость состояния равновесия в ДС при наличии механизма нелинейного ограничения нарастания возмущений порождает новый режим – режим устойчивых периодических колебаний. Если мы вообразим себе иную ситуацию, когда отклонение от состояния равновесия вначале нарастает, а затем в силу нелинейности вновь стремится к нулю, мы придем к противоречию: фазовая траектория обязана будет самопересекаться. Но это будет означать, что существуют различные начальные условия, приводящие в процессе эволюции к одинаковым состояниям. Это невозможно в силу понятия детерминизма, которое в данном примере проявляется в содержании теоремы единственности решения: при заданных начальных условиях решение существует и оно единственное .

Теперь внесем ясность в понятие хаос. Давайте проведем мысленный эксперимент с броуновской частицей. Поместим частицу в начальный момент t = t₀ в раствор жидкости и с помощью микроскопа и начнем фиксировать ее положение во времени, отмечая координаты частицы через равные интервалы времени t. Нетрудно убедиться, что под действием случайных толчков со стороны окружающих молекул частица будет совершать нерегулярные блуждания, которые характеризуются запутанной траекторией. Повторим эксперимент несколько раз подряд, осуществляя в пределах возможностей воспроизводство начальных условий опыта. Каковы будут результаты? Их, главным образом, два. Первый – каждый раз траектория движения частицы будет сложной непериодической. Второй – любая попытка однозначного повторения опыта приведет к отрицательному результату. Каждый раз при повторении опыта с одинаковыми (в пределах наших возможностей) начальными условиями мы будем получать различные траектории движения частицы, которые даже близко не напоминают друг друга .

Классическое явление движения броуновской частицы дает нам четкие физические представления о хаосе как о непредсказуемом, случайном процессе. Таким образом, если мы говорим о хаосе, мы подразумеваем, что изменение во времени состояния системы является случайным (его нельзя однозначно предсказать) и невоспроизводимым (процесс нельзя повторить) .

Приведенные выше размышления приводят нас к убеждению, что понятия детерминизм и хаос есть прямо противоположные по смыслу. Детерминизм ассоциируется с полной однозначной предсказуемостью и воспроизводимостью, хаос – с полной непредсказуемостью и невоспроизводимостью. Возникает закономерный вопрос, что понимается под термином детерминированный хаос, где объединены два противоположных по смыслу понятия.