- •Предмет теории вероятностей
- •2. Понятие события. Виды событий.
- •Виды случайных событий
- •3. Классическое и статистическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики
- •3.1 Классическое определение вероятности.Свойства вероятности.
- •3.2 Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
- •3.3 Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность.
- •3.4 Основные формулы комбинаторики
- •Решение. Искомое число способов
- •1. Понятие суммы и произведения событий.
- •2. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий и событий, образующих полную группу событий
- •Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •2.2. Полная группа событий
- •Теорема сложения вероятностей противоположных событий. Принцип практической невозможности маловероятных событий.
- •3.1 Противоположные события
- •3.2. Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •2. Теоремы умножения для зависимых и независимых событий.
- •Теорема о вероятности появления хотя бы одного независимого
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •2. Формула полной вероятности
- •Деталь может быть извлечена , либо из первого набора (событие в1), либо из второго (событие в2).
- •3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •1) Деталь проверил первый контролер (гипотеза в1);
- •2) Деталь проверил второй контролер (гипотеза b2).
- •1. Формула Бернулли
- •2. Локальная теорема Лапласа
- •3. Интегральная теорема Лапласа
- •Случайная величина
- •Дискретные и непрерывные случайные величины
- •2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .
- •3. Биномиальный закон распределения .
- •4 . Распределение Пуассона
- •5 . Геометрическое распределение .
- •Понятие и вероятностный смысл математического ожидания дискретной случайной величины
- •Вероятностный смысл математического ожидания Пусть произведено «n» испытаний, в которых слу-
- •2. Свойства математического ожидания
- •Математическое ожидание случайной величины сх:
- •3. Теорема о математическом ожидании биномиального закона распределения
- •Дисперсия дискретной случайной величины и формула для ее вычисления.
- •1.1 Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •1.2 Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •1.3 Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.4. Формула для вычисления дисперсии
- •2. Свойства дисперсии и их следствия.
- •Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем
- •Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (дисперсия биномиального закона распределения)
- •3. Среднеквадратическое отклонение одной и суммы независимых случайных величин.
- •Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •4. Сущность и значение для практики теоремы Чебышева.
- •2. Свойства функции распределения
- •3. График функции распределения
- •1. Определение и свойства плотности распределения.
- •Свойства плотности распределения
- •2. Взаимосвязь функции и плотности распределения вероятностей.
- •Вероятностный смысл плотности распределения.
- •Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Теорема сложения вероятностей противоположных событий. Принцип практической невозможности маловероятных событий.
3.1 Противоположные события
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .
Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь»—противоположные.
Теорема сложения вероятностей противоположных событий.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Доказательство. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице (см. п.п. 2.2),
Пример 3. Вероятность того, что день будет дождливым, р==0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.
Решение. События «день дождливый» и «день ясный»—противоположные, поэтому искомая вероятность
Очевидно»
Искомая вероятность
3.2. Принцип практической невозможности маловероятных событий
При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т. е. близка к нулю. Можно ли считать, что маловероятное событие А в единичном испытании не произойдет? Такого заключения сделать нельзя, так как не исключено, хотя и мало вероятно, что событие А наступит.
Казалось бы, появление или непоявление маловероятного события в единичном испытании предсказать невозможно. Однако длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого факта принимают следующий «принцип практической невозможности маловероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.
Естественно возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать невозможным его появление в одном испытании? На этот вопрос нельзя ответить однозначно. Для задач, различных по существу, ответы разные. Например, если вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется, равна 0,01, то было бы недопустимым применять такие парашюты. Если же вероятность того, что поезд дальнего следования прибудет с опозданием, равна 0,01, то можно практически быть уверенным, что поезд прибудет вовремя.
Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05 (или 1-5%). Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д.
Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позволяет делать предсказания не только о событиях, имеющих малую вероятность, но и о событиях, вероятность которых близка к единице.
Из принципа невозможности маловероятных событии вытекает следующее важное для приложений следствие: если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Разумеется, и здесь ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близкой к единице, зависит от существа задачи.
Введем еще одно важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Рассмотрим примеры.
1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:
А — появление герба на первой монете, В — появление герба на второй монете.
В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет; событие А н е з а в и с и м о от события В.
2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:
А—появление белого шара у 1-го лица, В — появление белого шара у 2-го лица.
Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В, равна 2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В) или РВ(А).
Для условий последнего примера
Условие независимости события А от события В можно записать в виде:
а условие зависимости—в виде:
----------------------------------------------------------------------------------------
Другое определение условной вероятности: Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность
Этот же результат можно получить по формуле
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
Искомая условная вероятность
(*)
Как видим, получен прежний результат.
Исходя из классического определения вероятности, формулу (*) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения условной вероятности.
Общее определение условной вероятности:
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна
РА (В)=Р(АВ)/Р(А) (Р(А)>0).