2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно пере­числить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинако­вые перечни возможных значений, а их вероятности— различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Его можно задать таблично, аналити­чески (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая—их вероятности:

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает- одно и только одно возможное зна-

образуют полную группу; следовательно, сумма вероят­ностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд р₁ +р₂+••• сходится и его сумма равна единице.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгры­вается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х—стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X: X₁= 50, х₂= 1, X₃==0. Вероятности этих возможных значений таковы: p₁==0,01, р₂ == 0,1, Рз = 1 - (P₁ + Р₂) = 0.89.

Напишем искомый закон распределения:

Х 50 10 О

р 0,01 0,1 0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (Xi ,. Pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником, распре­деления.

3. Биномиальный закон распределения .

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероят­ность непоявления д==1—р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появлений со­бытия А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распреде­ления величины X.

Для ее решения требуется определить возможные значения Х и их вероятности. Очевидно, событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ..., либо п раз.

этих возможных значений, для чего достаточно восполь­зоваться формулой Бернулли:

Формула (*) и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «бино­миальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Таким образом, первый член разложения р" опреде­ляет вероятность наступления рассматриваемого события

событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х—числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления <герба» в каждом бросании

возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения: