2. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий и событий, образующих полную группу событий

1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Пусть события А и В—несовместные!!!, причем вероят­ности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несов­местных событий, безразлично какого, равна сумме веро­ятностей этих событий:

Доказательство. Введем обозначения: п—общее число возможных элементарных исходов испытания; т1 -­число исходов, благоприятствующих .событию А; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно

Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несов­местны, то появление одного из трех событий. А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, А+В и С, поэтому в силу указанной теоремы

Для произвольного числа попарно несовместных собы­тий доказательство проводится методом математической индукции.

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих я 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара,

Решение. Появление цветного шара означает появление либо краевого, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

Вероятность появления синего шара (событие В)

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исклю­чает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения при­менима.

Искомая вероятность

Пример 2. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 об­ласти. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую—0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. События А—«стрелок попал в первую область» и В—«стрелок попал во вторую область» — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

2.2. Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2 .... А_n, образующих полную группу, равна единице:

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность досто­верного события равна единице, то

( *)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить следствие теоремы сложения нескольких попарно несовместных событий:

Сравнивая левые и правые части уравнений (*) и (**), можно записать

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность полу­чения пакета из города А равна 0,7, из города В-—0,2. Найти веро­ятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу,

поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Отсюда искомая вероятность